DOMANDE PER L'ESAME ORALE

• Continuita` e limiti per funzioni vettoriali di variabili vettoriali. Teoremi sulle funzioni continue.

• Insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi per archi. Definizioni.

• Definizione di massimo (minimo) e punto di massimo (minimo), teorema sugli estremanti delle funzioni continue e reali di piu` variabili (Weierstrass).

• Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilita`, differenziale (con definizione di o-piccolo), per funzioni a valori reali.

• Definizione di matrice jacobiana e differenziale, teorema sulla differenziabilita`.

• Piano tangente al grafico di una funzione.

• Teorema sulla derivazione delle funzioni composte. 

• Derivate parziali seconde e teorema di Schwarz.

• Formula di Taylor al II ordine per funzioni reali di piu` variabili (con definizione di o-piccolo).

• Definizione di punto di estremante relativo per una funzione di piu` variabili, condizioni necessarie e sufficienti che coinvolgono gradienti e matrici hessiane (definizione di matrice hessiana). 

• Definizione di punto di estremo vincolato e teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

• Definizione di curva regolare e di vettore tangente a una curva.

• Lunghezza di una curva: definizione e proprieta`.

• Integrali di I specie su curve: definizione e proprieta`.

• Campi vettoriali conservativi e chiusi, proprieta`.

• Definizione di insieme misurabile secondo Jordan nel piano e della sua area.

• Definizione di integrale doppio su un rettangolo, proprieta`.

• Formule di riduzione per integrali doppi.

• Teorema sul cambiamento delle variabili negli integrali.Teorema di Gauss-Green.

• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: definizione di soluzione e integrale generale.

• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: problema di Cauchy.

• Serie: definizione, convergenza, criteri di convergenza.

Si intende che lo studente deve scrivere TUTTO cio` che sa sull'argomento della domanda: definizioni, proprieta`, eventualmente dimostrazione di alcune di esse... La risposta deve essere precisa ed e` apprezzata l'assenza di inutili verbosita`. E` importante che lo studente sappia definire tutti gli oggetti matematici contenuti nella risposta. Se lo studente pensa che una figura possa meglio illustrare i concetti che va esponendo, e` benvenuto a disegnarla. Verranno considerate anche risposte parziali. (Valido per gli esami di AnMatLB).