Svariati programmi grafici sono disponibili e utilizzabili
online sul sito della Vanderbilt University
(Nashville, TN). Un indice di questi programmi (forse
incompleto) e` alla pagina dei tools.
Grafico di funzioni da R^2 in R
C'e un programma online per visualizzare i grafici
di funzioni da R^2 in R. Cliccate la
pagina del plotter, troverete
Plotting the Graph of z=f(x,y)
Function: f(x,y) = .
Enter the rectangle over which it is to be plotted:
xmin: xmax:
ymin: ymax:
The surface can be rotated by selecting the graph.
Select the resolution of the plot:
Nella prima scatola mettete la funzione di cui volete calcolare
il grafico, nelle scatole xmin e xmax mettete le coordinate
massime e minime della x, lo stesso fate con ymin e
ymax (si assume che il dominio delle funzioni da plottare sia un
rettangolo). Scegliete la risoluzione (cioe`, il numero di punti del
grafico della funzione che vi interessa: high e` spesso sufficiente
a farsi un'idea abbastanza precisa). Date quindi il comando "plot".
Dopo un po`, vedrete apparire il grafico della funzione
che volevate visualizzare. Attenzione: dovete essere molto precisi
nell'utilizzare le parentesi (tonde) quando scrivete le vostre funzioni.
Cliccando sulla superficie, potete farla ruotare.
Un piccolo dizionario:
x*y e` la moltiplicazione di x e y; z^x e` l'elevamento di
z alla potenza x; "e" e` la costante di Nepero; seno e coseno di
x sono sin(x) e cos(x): attenti alle parentesi! Devo ancora trovare
la dicitura esatta di tangente e arcotangente, eccetera. La divisione
si indica con /.
NOTA: il programma a volte
non funziona (per farlo funzionare bisogna scaricare un plug-in: voi
siete informatici e saprete farlo sicuramente meglio di me).
Attenzione. Il programma
in questione non "vede" le discontinuita` delle funzioni. Provare per
credere: la funzione
z=xy/(x^2+y^2) , che sappiamo essere discontinua nell'origine,
viene plottata come una funzione continua ovunque, e avente vicino
all'origine due massimi locali (nella superficie, appaiono come due
stretti pinnacoli, che nulla hanno a che fare con la vera funzione:
l'immagine e` anche riportata alla pagina 379 del Bramanti-Pagani-Salsa).
Il motivo e` che l'algoritmo interpola alcuni punti calcolati sulla superficie
con dei pezzi di piano, cosicche` "ogni funzione e` continua", almeno
agli occhi dell'algoritmo. (Mai fidarsi degli algoritmi, se non si sa
come funzionano!). Questo aspetto del programma non appare in "polyray",
un altro plotter online a cui ho messo un link piu` sotto.
Questo aspetto del programma stimola alcune domande, che esulano
dal materiale del corso, ma che hanno un significato scientifico e
ingegneristico. 1) E` sempre un bene avere funzioni continue? 2) Esiste
del software in grado di evidenziare le discontinuita` delle funzioni?
Quanto a 1), la risposta e` no. Se una funzione, per esempio,
descrive un'immagine (z=u(x,y) descrive l'intensita` di grigio nel pixel
di coordinate (x,y)), allora i contorni delle figure appaiono matematicamente
come curve su cui u e` discontinua. Una funzione continua descrivera`
probabilmente un'immagine "sfocata", e cio` che l'analista vuole e`
un algoritmo per trasformare u in una funzione "vicina" (descrivente,
cioe`, un'immagine assai simile) e con contorni definiti (cioe`, con
delle discontinuita`).
Per quel che riguarda la seconda domanda, esiste una ricerca
attivissima per elaborare nuovi metodi che permettano di evidenziare
(anziche` celare) le discontinuita` delle funzioni in termini matematici,
quindi in forma di algoritmi.
Altri programmi che disegnano il grafico di
una funzione.
Nel sito dell' Universita` di
Nizza, c'e' il bel programma polyray
che disegna il grafico delle "superfici di livello algebriche". Cioe`,
dato un polinomio P(x,y,z), viene disegnato il sottoinsieme di R^3
{(x,y,z): P(x,y,z)=0}. Vista la restrizione sulle funzioni P ammesse dal
programma, gli algoritmi sono piu` efficienti, quindi la grafica e` molto
migliore. Il programma puo` essere utilizzato per disegnare il grafico di
funzioni polinomiali (z=Q(x,y), con Q polinomio). Si puo` anche utilizzare
per visualizzare delle regioni dello spazio (per esempio, l'ellissoide x^2+y^2+z^2/4<=1
verra` disegnato dando al programma l'equazione x^2+y^2+z^2/4=1), o per
rappresentare funzioni del tipo z=(1-x^2-y^2)^1/2 (basta far disegnare x^2+y^2+z^2=1
e considerare la parte superiore della superficie ottenuta). Provate a disegnare
il grafico di z(x^2+y^2)=xy (la solita funzione z=xy/(x^2+y^2)). Vedrete
che la discontinuita` e` riportata correttamente.
Sempre all'Universita` di Nizza, c'e' un programma
che fa il grafico (animato) di funzioni da R^2 in R Il software soggiacente
e` lo stesso dalla Vanderbilt.
Curve di livello
Alla
pagina del grafico di equazioni ( Vanderbilt University)
si possono visualizzare determinate curve di livello (o, altrimenti
detto, funzioni definite implicitamente). Per visualizzare la curve
di livello {(x,y): x^2+y^4=1} della funzione u(x,y)=x^2+y^4, per esempio,
si fa semplicemente plottare l'equazione x^2+y^4=1.
Grafici di curve
in R^2 e R^3
In quest'altra
pagina ( Vanderbilt
University) si puo` tracciare il grafico di una curva "in forma
parametrica" in R^2 (cioe`, si traccia l'immagine di una funzione h
da R a R^2, definita su di un intervallo). Nel formato del plotter,
h=(f,g) (qui, f e` la prima componente e g e` la seconda).
All'Universita` di Nizza, invece, c'e' un plotter
per curve in R^3 (equivalentemente, grafici di funzioni da R in R^3).
Grafici di curve
in R^2, con animazione
Sempre sul sito dell'universita` di Nizza, si trova un
plotter di curve parametriche, con animazione. La novita` e` che, assieme
al sostegno della curva, questo plotter vi dice (con una animazione) come
varia il punto della curva r(t)=(f(t),g(t)) al variare di t. Potreste, per
esempio, confrontare diverse curve avente lo stesso sostegno (cio` che e`
impossibile in due dimensioni, con un grafico statico). Questo programma
vi puo` essere utile, piu` che per il corso di Analisi L-B, per il
corso di Fisica L-A.
Regioni del piano
definite da disequazioni Sul sito di Quickmath, un'impresa privata, trovate
un
programma online che visualizza la regione definita da una famiglia
di disequazioni. Per esempio, potete vedere la forma dell'insieme {(x,y):
x^2+y^2<1, x>y} (un insieme aperto!).
Curve frattali e altre stranezze.
Le curve che studiamo nel corso sono date da funzioni f: [a,b]->R^n derivabili.
Cosa succede se uno considera funzioni f meramente continue? In questa classe
piu` generale esistono curve con proprieta` curiose e, talvolta, controintuitive.
Una famiglia affascinante di curve continue e` data dalle curve frattali (un aggettivo generico che si da`
agli oggetti geometrici "autosimili"). Un bel sito (italiano) con figure,
animazioni, spiegazioni e software scaricabile e` http://www.frattali.it/ (a cura di Laura
Iotti). Attenzione: per capire veramente i frattali occorre attrezzarsi
con una matematica piu` sofisticata di quella che svolgiamo nel corso (occorrerebbe
parlare almeno di continuita` uniforme, di successioni di funzioni continue
uniformemente convergenti, eccetera). Ecco alcuni esempi di curve frattali
che potete trovare nella lista sulla sinistra della pagina http://www.frattali.it/frame.html.
Il merletto di Koch e` un arco di curva
continua, senza autointersezioni, che ha, tra le sue curiose proprieta`,
quella che ogni suo sottoarco ha lunghezza infinita. Il fiocco di neve di Koch e` la curva chiusa ottenuta
saldando tre merletti di Koch, e ha interessanti proprieta` probabilistiche.
La curva di Peano e` una curva f: [0,1]->R^2
che riempie un quadrato (f([0,1]), il sostegno della curva, e` un quadrato).
Una variante graficamente piu` comprensibile della curva di Peano e` data
dalla curva di Hilbert (attenzione! non e`
vero, contrariamente a quanto detto nella spiegazione sul sito dei frattali,
che la curva di Hilbert non interseca sestessa: cio` e` vero solo per le
curve che la approssimano). Incollando tra loro infinite curve di Hilbert
(o Peano), si puo` costruire una funzione continua f:R->R^2 tale che
f(R)=R^2.
Tra le curve continue e non derivabili in R^2, un esempio notevole e utile
e` dato dai cammini browniani (il modello matematico
che descrive la traiettoria di un grano di polline in un liquido, ma anche
molti fenomeni casuali, dal cambio delle valute alla diffusione dei gas).
Con statistica certezza (in un senso rigoroso) i cammini browniani sono
funzioni f:R->R^2, continue, ma senza derivata in nessun punto. Sul sito
del dipartimento di fisica del Davidson
College (Davidson, NC) trovate l'animazione di un cammino
browniano. Andate a fondo pagina e cliccate su Einstein graph:
a sinistra vedrete un grano di polline (in rosso) urtato da delle molecole
d'acqua, e a destra vedrete la sua traiettoria, che e` un cammino browniano
approssimato (si tratta di un modello bidimensionale, ovviamente).
Alcuni elenchi di risorse online, con
link. "Calcolatori"
online contiene link a strumenti di calcolo e grafici online. Fa
parte della "Educypedia", un'enciclopedia
di risorse online (scientifiche, tecniche, umanistiche...). MathArchives e` ospitato sul
sito dell'Universita` del Tennessee a Knoxville e contiene link a appunti,
strumenti di calcolo, eccetera. Quick Math e` una compagnia privata,
che da` comunque accesso a svariati strumenti di calcolo e grafici online.
Il dipartimento di matematica della Vanderbilt
University ha un insieme di strumenti online.