I VOSTRI EMAIL
In questa pagina raccolgo le domande che ricevo da voi via mail (senza il nome del mittente, ovviamente), con le risposte.

23-1-2003

Buongiorno,
vorrei chiederle alcune cose:
 
1- Esercizio:
A incluso in R2
A = {(x,y) : |(x,y)-(1,0)|/|(x,y)-(-1,0)|<(1/2)}
A è un disco
Trovare centro e raggio
 
2-Non capisco questa uguaglianza:
x^2+y^2 = |(x,y)|^2 = |(x,y)-(0,0)|
 
3-Disegnare le curve di livello di U(x,y) = x^2+y^2
 
4-Trovare Im(f)
f(t) = (cos(2t),sin(2t)) 0<=t<pigreca       

5-Parametrizzare la retta per (1,0,1) e (0,1,0) appartenenti a R3

Nell'uguaglianza che ha scritto, manca l'esponente 2 nell'ultimo termine:
o e` sfuggito a me quando scrivevo, o a lei quando copiava. Per gli
esercizi, posso darle solo delle indicazioni generali (per piu` dettagli,
venga al ricevimento).
1) dopo aver moltiplicato e elevato al quadrato, la condizione su (x,y)
diventa
(x-1)^2+y^2<1/4((x+1)^2+y^2)
Fatti conti e semplificazioni, se si sostituisce < con = si ottiene
l'equazione di una circonferenza, di cui si possono calcolare centro e
raggio. L'insieme e` il suo interno.
4) E` la circonferenza S(0,1) nel piano
3) fissiamo c reale. Se x^2+y^2=c, allora
c>0: circonferenza
c=0: punto (0,0)
c<0: insieme vuoto
5) l'ho spiegato a lezione:
(x,y,z)=(1,0,1)+t((1,0,1)-(0,1,0))

> Vorrei sapere in che capitoli del libro della zanichelli si trovano gli
argomenti trattati da lei a lezione.

A oggi, Capitolo 9 (quasi tutto) e Capitolo 11 (1.1, 1.2, 1.3).

28-1-2003

> Salve, sono ..., volevo farle una domanda,forse un po'
> prematura, per quanto riguarda l'orale:
> Se ho passato gli scritti questa l'orale può solo migliorare/peggiorare il
> voto, o il voto che si ottiene all'orale è quello definitivo?E se ci troviamo
> nella prima ipotesi di quanti voti può essere l'intervallo?

L'esame si compone di prova scritta E prova orale. L'esame e' passato quando sono
state passate entrambe le prove. Il voto finale puo' essere piu' alto o piu'
basso di quello dello scritto. Non e' automatico che chi passa lo scritto con
esito favorevole, passi poi l'orale, qualunque sia il voto dello scritto.
Il voto finale tiene conto sia della prova scritta, che di quella orale. Non
c'e' un "intervallo" prefissato, anche se, a buonsenso, chi arriva all'orale
con una votazione minima allo scritto, non puo' aspettarsi un gran voto finale.
Le modalita' dell'orale sono comunque rigide, al fine di rendere l'esame il
piu' possibile "prevedibile" e facile da preparare. Ogni scostamento dalle
modalita' d'esame avverra' a vostro vantaggio.

5-2-2003

> Salve prof. Arcozzi, volevo chiederle se poteva spiegarmi come si arriva
> a risolvere l'esercizio numero 4 e 5 sulle dimensioni.
> La ringrazio per la cortese attenzione.
> Cordiali saluti.

Esercizio 4. Poiche` la matrice A e 3 per 2, Ax ha senso solo se x e` in
R^2. f(x)=Ax sta allora in R^3. Dunque, f:R^2->R^3.

Esercizio 5. f e` definita su R^2, quindi x sta in R^2 (quindi s=2). f(x)
sta in R^3, quindi, per poter fare Af(x) (prodotto matrice-vettore)
occorre che A abbia 3 colonne: ne ha k, dunque k=3. A questo punto, Af(x)
e` un vettore di R^3 (A e` 3 per 3). Gli applico g, quindi g e` definita
su R^3 (m=3). h(x)=g(qualcosa), che sta in R (g ha codominio R), quindi h
va da R^2 a R (t=1).

6-2-2003

> Vorrei sapere se la risoluzione di questo esercizio è corretta :
>
> data h(x,y)  = f( xy, g(x^2,3x) * y)
>
> volendo calcolare la derivata rispetto a x:
> (le parentesi graffe e quadre le ho messe per rendere più chiaro il testo)
>
> pongo:  g = g(u,w)
>              f  = f(h,k)
>
> dx[h(x,y)] = dh[f(h,k)] * dx[xy] + dk[f(h,k)] * {{du[g(u,w)] * dx[x^2] +
> dw[g(u,w)] * dx[3x]}*y +  dx[y]*g(u,w)}
>
> è corretta questa soluzione ?

La soluzione e` giusta. Vanno poi calcolate le derivate:

dx[xy]=y
dx[x^2]=2x
dx[y]=0

e, al posto di u,v,h,k, vanno inserite le espressioni corrispondenti in
x,y.
C'e' una (innocente) omonimia tra h variabile e h funzione.

12-2-2003

> Salve prof. Arcozzi, volevo chiederle come si può risolvere il seguente
> esercizio: f(x,y)=(-y,x,sin(xy)) trovare la derivata di f rispetto a x in
> (1,0)  

f_x(x,y)=(0,1,y*cos(xy))

Poi si sostituisce (x,y)=(1,0).
Come vede, ho derivato tutte le componenti di f rispetto a x, e con cio`
che ottenuto ho fatto un vettore. (Da pensare come vettore colonna, se
appare in calcoli matriciali).

13-2-2003

> Ho qualche difficoltà negli esercizi sulla derivazione di composizione
di funzioni.
In particolare non riesco ad individuare in che modo le funzioni si compongono.
Ad esempio, potrebbe risolvere per chiarirmi le idee questi esercizi
(il primo e il secondo degli esercizi sulla derivazioni composte)
evidenziando le
funzioni che si compongono
 e come è applicata la formula generale*
>
> g(x,y,z) = f(x^2*y, x + z, sen(x))  -  [f:R^3->R]  -
Calcolare il gradiente di g in (x,y,z) generici
>
> g(x,y) = (f(x,x^2), y) -  [f:R^2->R]   -
Calcolare la Jacobiana di g in (x,y) generici
>
> Grazie!
>
>
> *Jacobiana di g composto f in x = Jac(g(f(x))*Jac(f(x))

Innanzitutto, la sua formulazione del teorema sulla composizione e`
ambiguissima. Una formulazione precisa e`

*Jacobiana di g composto f in x = Jac(g)(f(x))*Jac(f(x))

(La prima Jiacobiana che si calcola e` quella di g [in f(x)], la seconda
quella di f [in x]).

In aula vi ho fatto vedere una maniera per risolvere questi esercizi che
non passa attraverso il calcolo esplicito delle Jacobiane, ma solo
attraverso il calcolo delle derivate parziali. Vediamo il primo esercizio.
La funzione f=f(u,v,w) dipende da tre variabili e ha una sola componente.
Se introduciamo le funzioni m(x,y,z)=x^2y, n(x,y,z)=x+z e p(x,y,z)=sin(x),
la formula per le derivate parziali di funzioni composte ci da`(g_x
indica la derivata di g rispetto a x):

g_x(x,y,z)=
f_u(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))m_x(x,y,z)+
f_v(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))n_x(x,y,z)+
f_w(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))p_x(x,y,z)=
f_u(x^2y,x+z,sin(x))2xy+
f_v(x^2y,x+z,sin(x))+
f_w(x^2y,x+z,sin(x))cos(x)

Allo stesso modo si calcolano

g_y(x,y,z)=
f_u(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))m_y(x,y,z)+
f_v(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))n_y(x,y,z)+
f_w(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))p_y(x,y,z)=
f_u(x^2y,x+z,sin(x))x^2 

e

g_z(x,y,z)=
f_u(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))m_z(x,y,z)+
f_v(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))n_z(x,y,z)+
f_w(m(x,y,z),n(x,y,x),p(x,y,z))p_z(x,y,z)=
f_v(x^2y,x+z,sin(x))

Ne segue che il gradiente di g e`

Grad(g)(x,y,z)=
(g_x(x,y,z), g_y(x,y,z), g_z(x,y,z))=
(f_u(x^2y,x+z,sin(x))2xy+f_v(x^2y,x+z,sin(x))+f_w(x^2y,x+z,sin(x))cos(x),
f_u(x^2y,x+z,sin(x))x^2, f_v(x^2y,x+z,sin(x)))

Certo, uno potrebbe anche usare il prodotto delle Jacobiane. In tal caso,
osserviamo che g=f@h (uso @ per la composizione), dove
h(x,y,z)=(x^2y,x+z,sin(x))
quindi h va da R^3 a R^3.
La Jacobiana di h e`

                [2xy      x^2     0]
Jh(x,y,z)= [1          0        1]
                [cos(x)  0         0]

Sappiamo che Grad(g)(x,y,z)=Grad(f)(h(x,y,z))Jh(x,y,z): sostituisca e
calcoli il prodotto matrice X vettore, e
vedra` che ottiene lo stesso risultato ricavato prima.

Per il secondo esercizio, venga a ricevimento domani.

14-2-2003


> Salve,
> volevo sapere se nel parziale di Lunedì ci saranno esercizi sulle forme
quadratiche.
> Grazie
> Cordiali saluti

Il parziale di lunedi` avra` una struttura del tutto simile al test di
prova III, tranne che per l'esercizio sulla lunghezza delle curve, che
non ci sara`.

25-2-2003


> Salve , volevo chiederle se la paremetrizzazione relativa al primo esercizio
del test di prova 5 era corretta:
> - analizzando il primo vincolo y+x=0
> -y=-x
> -r(t)=(t,-t) ma nelle sue soluzioni r(t)=(t,1-t)    

Ha ragione (test IV). Anche gli estremi d'integrazione sono sbagliati:
-pi/4 e 3/4pi sono quelli giusti (nel primo integrale). Ho cambiato il testo piu` volte,
ma non le soluzioni... L'integrale rimane -1/3.
Grazie per la segnalazione.

3-3-2003

> Salve , volevo chiederle una cosa, lai sul sito ha scritto :
>
> "Le prove orali si terranno nei giorni immediatamente seguenti alle prove
> scritte. Gli studenti che hanno passato le due prove parziali, sosterranno
> la prova orale nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta del I
> appello"
>
> non potrebbe fare che l' orale per chi ha passato le  2 prove parziali sia
> immediamentete dopo la seconda prova parziale?(così si libera di noi
> prima...)

Non mi sembra un'ottima idea. Per gran parte di quelli che passeranno i
parziali, una settimana per preparare l'orale e` necessaria.
Saluti,
Nicola Arcozzi
PS non ho nessuna fretta di liberarmi di una cosi` piacevole compagnia.


28-3-2003

Per favore,può inserire tra le risposte alle email lo svolgimento di
un'equazione differenziale, nella quale il
termine noto sia un'esponenziale?  

Equazioni di questo tipo sono discusse, con esempi e esercizi, anche sul libro e sull'eserciziario. Faccio un esempio che dovrebbe contenere alcune difficolta` tipiche. (A ricevimento, ovviamente, sarebbe piu` facile discutere di questo e altri argomenti).

(*) y"-2y'+5y=e^x cos(2x)

Inizio scrivendo l'omogenea associata

(&) z"-2z'+5z=0

Per risolverla, considero l'equazione caratteristica,

t^2-2t+5=0

Le soluzioni di questa sono complesse:

t=1+2i, 1-2i

L'integrale generale dell'omogenea, quindi, e` dato da

z=C(1)e^x cos(2x)+ C(2)e^x sin(2x)

Mi metto alla ricerca di una soluzione particolare di (*). Ora, in genere cercherei la soluzione tra le funzioni aventi la forma

($) y=Ae^x cos(2x) +Be^x sin(2x)

Questo tipo di funzione e` associato (si guardi la teoria per capire perche`) al numero complesso t=1+2i, che purtroppo e` soluzione dell'equazione caratteristica, quindi non puo` dare soluzioni dell'equazione originale, (*). [Il motivo e` semplice. Ogni funzione della forma ($) e` soluzione dell'omogenea (&), quindi non puo` essere soluzione di (*)].
Pazienza: mi rivolgero` allora alle funzioni del tipo

(@)  y=x(Ae^x cos(2x) +Be^x sin(2x))

Calcolo le derivate di (@):

y'=(Ae^x cos(2x) +Be^x sin(2x))+x([-2A+B]e^x sin(2x) +[2B+A]e^x cos(2x))
y"=([-4A+2B]e^x sin(2x) +[4B+2A]e^x cos(2x))+x([-3A+4B]e^x cos(2x) +[-3B-4A]e^x sin(2x))

Sostituisco in (*) e faccio le cancellazioni del caso (se i termini col fattore x non spariscono, significa che c'e' un errore di conto precedente) e ottengo

([-4A+2B]e^x sin(2x) +[4B+2A]e^x cos(2x))-2(Ae^x cos(2x) +Be^x sin(2x))=e^x cos(2x)

che deve valere per ogni x. Cio` e` possibile se, e solo se,

0=[-4A+2B]-2B=-4A e
1=[4B+2A]-2A=4B

Risolvo il sistema, fortunatamente facile, e trovo

A=0, B=1/4

che mi da` la soluzione particolare di (*)

y=1/4 xe^x sin(2x)

(Provi a sostituire in (*), per verificare che non abbia fatto errori).
Quindi, l'integrale generale di (*) e`

y=C(1)e^x cos(2x)+ C(2)e^x sin(2x)+1/4 xe^x sin(2x)