Didattica:
per il corso di Laurea Magistrale in Matematica
A.A. 2017-2018
Secondo semestre
Aula Vitali, mercoledì 11-14, gioved' 11-13,
Lezione introduttiva: 28 febbraio 2018.
• Obiettivi formativi
Al termine del corso, lo studente possiede nozioni
approfondite di meccanica statistica nei loro principali
aspetti matematici, è in grado di condurre autonomamente
l'approfondimento verso gli sviluppi più recenti delle
tematiche coinvolte e dei loro problemi più significativi.
• Descrizione
In questo anno accademico il corso porrà le basi concettuali
meccanico-statistiche per affrontare lo studio rigoroso dei
metodi di intelligenza artificiale. Saranno introdotti
quindi, dopo i casi elementari, modelli interagenti fino a
quelli di Hopfield per la memoria associativa, di
Sherrington e Kirkpatrick come paradigma di sistema
complesso e quelli a multistrato disordinati in particolare
quelli con matrice di interazione iperbolica utilizzati nel
deep learning. Il corso ospiterà anche seminari di
specialisti nel campo dell'intelligenza artificiale, sia
quelli che la utilizzano che faranno sessioni pratiche con
elementi di programmazione, sia quelli che ne studiano
aspetti teorico-concettuali.
• Programma
- Lezione Introduttiva- Spazi di Probabilità, Entropia e sue proprietà.
- Rappresentazione geometrica degli spazi di probabilità tramite simplessi
- Sistemi di particelle e modello di Ising. Modello di Ising in d=1 con condizioni libere e periodiche.
- Funzioni di variabili dicotomiche e decomposizione di Fourier. Cenni ai modelli di Ising in d>1
- Il limite termodinamico in dimensione finita e le disuguaglianze di correlazione. Modelli di campo medio. Modello di Curie-Weiss. Il limite termodinamico nei modelli di campo medio.
- Risoluzione del modello di Curie-Weiss con stime dall'alto e dal basso.
- Legge dei grandi numeri e teorema limite centrale per la magnetizzazione, modello con
interazione e modello senza.
- Problema inverso teorico: dalle osservabili termodinamiche ai parametri. Problema inverso empirico: dai dati sperimentali ai parametri. Metodo della massima verosimiglianza.
- Il modello di Sherrington e Kirkpatrick. La soluzione di Parisi. La dimostrazione per l'energia libera di Guerra-Talagrand. La dimostrazione di ultrametricità di Panchenko.
- Il modello di Hopfield per la memoria associativa. La rete del deep learning e la sua meccanica statistica con le condizioni al contorno coniche. Teorema sulla equivalenza tra learning and retrieval.
- Seminari specialistici.
• Valutazione
La verifica dell'apprendimento avviene mediante esame
orale, oppure (a richiesta dello dello studente) con
seminario di ricerca.
• Bibliografia
Daniel Stein and Chuck Newman, "Spin Glasses and Complexity
(Primers in Complex Systems)" Oxford University Press, 2013Pierluigi Contucci and Cristian Giardina, "Perspectives in Spin Glasses", Cambridge University Press, 2012