• Lectiones

Didattica:

• Obiettivi formativi

Al termine del corso, lo studente possiede nozioni approfondite di meccanica statistica nei loro principali aspetti matematici, è in grado di condurre autonomamente l'approfondimento verso gli sviluppi più recenti delle tematiche coinvolte e dei loro problemi più significativi.

• Descrizione

In questo anno accademico il corso porrà le basi concettuali meccanico-statistiche utili ad per affrontare lo studio rigoroso dei metodi di machine learning che si utilizzano nell'intelligenza artificiale. Saranno introdotti quindi i modelli interagenti quali, dopo i casi elementari, quelli di Hopfield per la memoria associativa, di Sherrington e Kirkpatrick come paradigma di sistema complesso e quelli a multistrato disordinati in particolare quelli con matrice di interazione iperbolica utilizzati nel deep learning. Il corso ospiterà occasionalmente seminari di specialisti nel campo dell machine learning, sia quelli che lo utilizzano che faranno sessioni pratiche con elementi di programmazione, sia quelli che ne studiano aspetti teorico-concettuali. La maggior parte degli argomenti trattati verrà anche illustrata con applet di simulazioni al calcolatore.

• Programma

-    Lezione Introduttiva
-    Spazi di Probabilità, Entropia e sue proprietà.
-    Rappresentazione geometrica degli spazi di probabilità tramite simplessi
-    Sistemi di particelle e modello di Ising. Modello di Ising in d=1 con condizioni libere e periodiche.
-    Funzioni di variabili dicotomiche e decomposizione di Fourier. Cenni ai modelli di Ising in d>1
-    Il limite termodinamico in dimensione finita e le disuguaglianze di correlazione. Modelli di campo medio. Modello di Curie-Weiss. Il limite termodinamico nei modelli di campo medio.
-    Risoluzione del modello di Curie-Weiss con stime dall'alto e dal basso.
-    Legge dei grandi numeri e teorema limite centrale per la magnetizzazione, modello con
interazione e modello senza.
-    Problema inverso teorico: dalle osservabili termodinamiche ai parametri. Problema inverso empirico: dai dati sperimentali ai parametri. Metodo della massima verosimiglianza.
-    Il modello di Sherrington e Kirkpatrick. La soluzione di Parisi. La dimostrazione per l'energia libera di Guerra-Talagrand. La dimostrazione di ultrametricità di Panchenko.
-    Il modello di Hopfield per la memoria associativa. La rete del deep learning e la sua meccanica statistica con le condizioni al contorno coniche. Teorema sulla equivalenza tra learning and retrieval.
- Seminari specialistici.

• Valutazione

La verifica dell'apprendimento avviene mediante esame orale, oppure (a richiesta dello dello studente) con seminario di ricerca.

• Bibliografia

Daniel Stein and Chuck Newman, "Spin Glasses and Complexity (Primers in Complex Systems)" Oxford University Press, 2013
Pierluigi Contucci and Cristian Giardina, "Perspectives in Spin Glasses", Cambridge University Press, 2012