INTRODUZIONE ALLA MECCANICA STATISTICA
Corso di Meccanica Superiore, I modulo, Anno Accademico
2001-2002
Pierluigi Contucci
Aula Enriques, Lunedì ore 11-13, Giovedì ore 15-17
Prima lezione, Lunedì 29 Ottobre, ore
11
Nata dal tentativo di de-assiomatizzare la termodinamica deducendola
dalla teoria corpuscolare
della materia la disciplina che va sotto il nome di Meccanica Statistica
fornisce oggi uno schema
concettuale adatto a formulare e risolvere problemi di varia natura
quando i sistemi indagati sono
composti da un grande numero di unità e le grandezze
studiate sono quelle medie.
Il corso intende fornire una introduzione ad alcuni dei risultati rigorosi
della disciplina e alle
tecniche che essa utilizza. Inoltre, attraverso l'illustrazione di
esempi, si vuole anche fornire una
opportunità per conoscere i metodi della modellizzazione
cioe del processo che porta dalla
formulazione empirica di un problema alla sua formulazione matematica.
Tra i possibili argomenti:
-
Introduzione: strumenti di calcolo della probabilita
- stati ed osservabili, il teorema GNS
- modelli Hamiltoniani
- spazi di probabilità , variabili aleatorie, medie e medie
condizionate
- legge dei grandi numeri, teorema limite centrale
- cammini aleatori e moto Browniano
- processi discreti e processo di Poisson
- catene di Markov e teorema ergodico
- le misure di Boltzmann-Gibbs, energia, entropia ed energia libera
- la famiglia di correlazioni, lo stato di equilibrio
-
Il limite termodinamico e lo stato di Boltzmann-Gibbs
- il limite termodinamico
- modelli su reticoli a dimensione finita, modelli di campo medio
- le equazioni Dobrushin-Lanford-Ruelle
- il principio variazionale entropico e le equazioni di campo medio
- dinamiche di campo medio
- modello di Ising d=1 con condizioni al bordo arbitrarie
- modello di Ising d=2 con campo nullo e condizioni perioche
- modello di Potts
- le algebre di Temperley-Lieb
- invarianti topologici, polinomio cromatico e polinomio di Jones.
- il controllo analitico delle variabili termodinamiche
- la cluster expansion, parte combinatoria ed analitica
- il prodotto di Dirichlet, le equazioni ricorsive per le funzioni
Zeta
- metodo del punto fisso e delle contrazioni su spazi di Banach
- stime del raggio di convergenza
- i modelli a interazioni competitive
- un semplice modello per i mercati finanziari
- il problema dello spin glass
- il modello SK e i modelli a dimensione finita
- la distribuzione delle overlap, la soluzione di Parisi
- problemi di ottimizzazione combinatoria NP completi e approccio meccanico
statistico
- stabilita stocastica nel campo medio e nei modelli a dimensione finita
- modelli seno ed equivalenza degli ensemble
Informazioni piu precise verranno fornite durante la lezione introduttiva.