A.A. 2017/2018
Corsi di laurea: Ing. Aerospaziale e Meccanica

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Lez 1) 18/09/2017 2 ore:
Introduzione al corso. Notazione per indici e sommatorie. Richiami su
connettivi logici e quantificatori, negazione di proposizioni, caso "A
implica B". Numeri naturali, interi, razionali e reali. Numeri interi
modulo 2 (pari e dispari). Numeri complessi: notazione cartesiana e
polare, somma, prodotto, modulo, coniugio e loro interpretazioni
geometriche. Inverso. Radici di 1, esempio di Z^3=1. 

Lez 2) 20/09/2017 3 ore:
Prodotto cartesiano, operazioni associative. Operazioni commutative.
Definizione di gruppo: "(G,*) insieme dotato di un'operazione
associativa * tale che esista l'elemento neutro ed ogni elemento abbia
un inverso".  Esempi: Z,R,Q,C,Z/2Z, con il + come operazione;
trasformazioni rigide del piano con la composizione come operazione.
Non esempio: (N,+). Definizione: un gruppo si dice abeliano se
l'operazione e' commutativa. Esempi: Z,R,C,Z/2Z col + sono abeliani.
Il gruppo delle trasformazioni rigide del piano no. Nei gruppi
abeliani il neutro si indica con 0 e l'operazione con +, l'inverso di
x si denota con -x.  
Definizione di Anello (commutativo) con unita': "(A,+,*) tale che
(A,+) sia gruppo abeliano, * un'operazione associativa (e commutativa)
tale che valga la proprieta' distributiva rispetto al + e tale che
esista il neutro del *, denotato con 1." Definizione di campo come
anello commutativo con unita' tale che ogni elemento diverso da 0
ammetta un inverso. Esempi Z e' anello ma non campo, Q,R,C,Z/2Z sono
campi col somma e prodotto usuali. Anello dei polinomi a coefficienti in K.
Grado di un polinomio. Notazione K[x] e sue varianti: K<=d[x] per i polinomi 
di grado minore di d, K=d[x] per i polinomi di grado esattamente d. 
K[x] e' un anello, K<=d[x] e' un gruppo ma non un anello, K=d[x]
non e' un gruppo. Algoritmo di divisione con resto tra polinomi. 
Teorema(no dim.) "Per ogni P,Q in K[x] esistono unici A,R in K[x] tale
che P=AQ+R con deg(R)<deg(Q)." Radici di polinomi. Teorema(con dim)
"un numero a e' radice di p(x) se e solo se (x-a) divide p".
Molteplicita' algebrica di a come radice di p(x), definita come il 
massimo m tale che (x-a)^m divide p. Teorema fondamentale dell'algebra 
su C: Enunciato 1 "ogni pin C[x] ammette una scomposizione unica come
c(x-a1)....(x-an) ove n=deg(p)" Raccogliendo le radici uguali si puo'
scrivere p(x)=(x-a1)^m1...(x-ak)^mk ove le radici ai sono a due a
due distinte e mi e' la molteplicita' di ai.
Teorema (con dim) "Per ogni p in R[x], se a in C e' radice di p allora
anche il suo coniugato lo e'". Corollario: versione reale del teorema
fondamentale dell'algebra: ogni polinomio p in R[x] si scompone in modo
unico come c(x-a1)...(x-ak)q1(x)...qs(x) ove a1...ak sono le radici 
reali di p e i polinomi q1 sono di secondo grado e della forma
(x-a)(x-b) con a complesso non reale e b=coniugato di a.

Lez 3) 25/09/17 2 ore:
Definizione di spazio vettoriale su un campo K:
(V,+,*) e' uno spazio vettoriale su K se (V,+) e' un gruppo abeliano,
* e' un'operazione mista, detto prodotto per scalare, 
tale che valgano le naturali proprieta'
distributive e associative e tale che 1v=v. Discussione sull'elemento
neutro di (V,+) che viene denotato con 0, esattamente come lo zero di K.
Esempio K[x]  e' spazio vettoriale su K. Esempio: R^2 e' spazio vettoriale su R.
Interpretazione geometrica di somma e prodotto in R^2, legami tra
algebra e fisica quando si parla di vettori. Esercizio per casa:
dimostrare che la somma delle radici 5 di un 1+i fa zero.
Esempio: {0} e' uno spazio vettoriale su qualsiasi campo.
Esempio: K e' spazio vettoriale su K.
Esempio: se K e' un sottocampo di F allora F con le sue operazioni
naturali e' spazio vettoriale su K. C e' spazio vettoriale su R, R e'
spazio vettoriale su Q, C e' spazio vettoriale su Q.
Definizione di K^n come ennuple ordinate di elementi di K
K^n={(x1,...,xn): xi in K per ogni i}. Definizione di somma e prodotto
per scalare su K^n e sua struttura di spazio vettoriale su K.
Esempi: R^3, C^2, (Z/2Z)^4. 

Lez 4) 27/09/2017 3 ore:
Se F e' un sotto campo di K e V e' uno spazio vettoriale su K allora
V, con le stesse operazioni, e' uno spazio vettoriale su F. Esempio:
C^2 e' uno spazio vettoriale sia su C che su R.
Spazio K^I={f:I --> K} con le usuali operazioni e' spazio vettoriale
su K. Discussione su come R^2 e R^I con I={1,2} siano in realta'
identificabili. Lo spazio vettoriale (Z/2Z)^n ha 2^n elementi.
Definizione di sottoinsieme chiuso per somma. Definizione di
sottoinsieme chiuso per prodotto per scalari. 
Esempi: A={xy=0} in R^2 e' chiuso per prodotto ma non per somma;
A={x=2y} e' chiuso per somma e prodotto, sia come sottoinsime di R^2
che di R^3; A={(z1,z2) in C^2 : RE(z1)=IM(z2)} e' chiuso per somma; e'
chiuso per prodotto se si considera C^2 come spazio vettoriale su R,
non e' chiuso per prodotto se si considera C^2 come spazio vettoriale
su C; A={(0,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} come sottoinsiem di (Z/2Z)^3  e'
chiuso per prodotto ma non per somma; A={xy=1} non e' chiuso ne' per
somma ne' per prodotto.
Interpretazione geometrica in R^n di essere chiuso per prodotto come
essere invariante per riscalamenti. Interpretazione geometricain R^n di
essere chiuso per somma. Interpretazione geometrica in R^n di essere
chiuso per somma e protoddo contemporaneamente: un insieme che
contiene v e w ed e' chiuso per somma e prodotto contiene tutto il
piano individuato da v e w (pensati come freccioline). 
Definizione: Sia V uno spazio vettoriale su K, un sottoinsieme non
vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale se e' chiuso per somma e
prodotto per scalari.
Esempi: {x=2y} e' s.s.v.; C^infty(R) e' sottospazio di R^R, A={f''=-f} e'
sottospazio di C^infty(R); A={p in K[x]: p(0)=0} e' s.s.v., A={p:
p'(0)=0} e' s.s.v.
Teorema (con dim) "Intersezione di sottospazi e' sottospazio". Esempi
l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziale
lineari e' s.s.v.

Lez 5) 02/10/2017 2 ore:
Combinazioni lineari. Teorema (con dim.) "W e' chiuso per combinazioni lineari se
e solo se e' chiuso per somma e prodotto per scalare". Matrici mxn
come tabelle. A=(aij) e Aij. Esempi Aij=(-1)^{i+j}, Aij=i+j.
Somma di matrici (A+B)_ij=A_ij+B_ij. Prodotto per scalare:
(aM)_ij=aM_ij. Spazio vettoriale delle matrici m x n a coefficienti in
K, notazione M_{mn}(K). Trasposta. Matrici quadrate, matrici
simmetriche e antisimmetriche. Identificazione di K^n con M_{1n}(K).
Identificazione di  M_{1n}(K) con M_{n1}(K) tramite la trasposizione.
Prodotto di una riga per una colonna. Prodotto riga per colonna:
(AB)_{ij}= Riga i di A per Colonna j di B. Fatto un esempio di calcolo
di prodotto.

Lez 6) 04/10/2017 3 ore:
Prodotti riga per colonna di matrici: La i-esima colonna di AB e' A
per l'i-esima colonna di B, la i-esima riga di AB e' l'i-esima riga di
A per B. Se X=(x1,...,xn) e' un vettore riga allora XA e' la
combinazione lineare delle righe di A con coefficienti x1,...,xn. Se X
e' un vettore colonna allora AX e' la combinazione lineare delle
colonne di A con coefficienti x1,...xn. Teorema (dim. lasciata per
esercizio) "Se A,B,C sono matrici moltiplicabili allora A(BC)=(AB)C".
Teorema (per esercizio) "(AB)^T=B^TA^T". Esempi, differenza tra AB e
BA anche quando si puo' fare, esempio: caso in cui A e' un vettore riga e B
e' un vettore colonna. Lo spazoi delle matrici quadrate di ordine n,
con il prodotto riga per colonna diventa un anello NON commutativo
(esempi di AB diverso da BA) con unita'. L'unita' e' la matrice
Identita' Id che ha 1 sulla diagonale e 0 altrove. Dimostrazione che I
e' l'elemento neutro del prodotto. Polinomi di matrici. Si pone A^0=I.
Se P=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n allora P(A)=aoI+a1A+a2A^2+...+anA^n. Esempi.
radici di (x-1)^2. Ce ne sono di non banali. Soluzioni di x^2=0
nell'anello delle matrici: ce ne sono di non banali. Teorema (con
dim.) "Se P,Q sono polinomi in K[x] e A e' una matrice quadrata,
allora le matrici P(A) e Q(A) commutano, cioe' P(A)Q(A)=Q(A)P(A)."
Inversa di una matrice. Esempio di matrici rettangolari AB tali che
AB=I ma BA diverso da I. Teorema (senza dim.) "Se A,B sono quadrate
allora AB=I implica BA=I". Esempi di matrici non invertibili, calcolo
di inversa di matrici semplici 2x2.
Equazioni lineari omogene e non. Linearita' in alcune variabili.
Soluzione di un'equazione lineare come elemento di K^n che soddisfa
l'equazione data. Equazioni equivalenti come equazioni con le stesse
soluzioni. Equazioni 0=0  e 0=1.
Definizione di sistemi lineari omogenei e non.

Lez 7) 09/10/2017 2 ore:
Risoluzione di sistemi lineari per sostituzione. Sistemi senza
soluzioni, sistemi con infinite soluzioni. Metodo per trovare
l'inversa di una matrice imponendo il sistema AX=I. Matrici associate
a un sistema: matrice dei coefficienti, colonna dei termini noti,
matrice completa. In termini matriciali un sistema si scrive sempre
come AX=b. Il sistema e' omogeneo se b=0 come vettore colonna. Teorema
(con dim.) "L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo in n
variabili e' un sottospazio vettoriale di K^n". Osservazione: se il
sistema non e' omogeneo allora {Ax=b} non e' un sottospazio vettoriale. 

Lez 8) 11/10/2017 3 ore:
Definzione di insieme di generatori. Esempi ed esercizi.
Teorema del passaggio a soprainsiemi (con dim): "se v1,...,v_n
generano allora v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano"
Teorema (con dim.) "dati v_1,...,v_n e w_i e' comb. lin. dei {v_i}, SE  
w_1,...,w_k generano ALLORA v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano"
Teorema (con dim.) "dati v_1,...,v_n e w_i e' comb. lin. dei {v_i}, SE  
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano ALLORA v_1,...,v_n,w_1,...,w_k
generano"
Esempi ed esercizi.
Definizine di lineare dipendenza e indipendenza. 
Esempi ed esercizi. Teorema del passaggio a sottoinsiemei (con dim.) "se
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k sono lin. indip. allora v_1,...,v_n sono lin.
indip." equivalentemente, "se v_1,...,v_n sono lin. dip. allora anche
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k sono lin. dip."
Teorema (con dim.) "v_1,...,v_n sono lin. dip. se e solo se uno di
essi si scrive come combinazione lineare degli altri"

Lez 9) 16/10/2017 2 ore:
Definizione di Base. Basi canoniche. Teorema (no dim) "Ogni spazio
vettoriale ha una base". Teorema (no dim.) "Dato V, Due basi qualsiasi
di V hanno sempre lo stesso numero di elementi". Definizione di
dimensione di V come numero di elementi di una base. Dimensione di
K^n, di K[x], di K_{<=n}[x], di M_mxn(K). Dimensione di C su R e su Q.
Numero di elementi di K^n. Caso di K=Z/2Z.
Metodo degli scarti successivi. Teorema (con dim) "Ogni insieme di
generatori contiene una base"; Teorema (con dim) "Ogni insieme di
vettori linearmente indipendenti si puo' completare a base". Teorema
(con dim) "Se v1,...,v_k generano allora dim(V)<=k". Teorema (con dim)
"Se v1,...,v_k sono lin indip. allora dim(V)>=k". Teorema (con dim)
"Se dim(V)=n e v1,...,vn in V allora essi generano se e solo se sono
linearmente indipendenti". Teorema (con dim) "Le colonne di una
matrice A sono linearmente indipendenti se e solo se il sistema AX=0
ha come unica soluzione lo zero, generano se il sistema AX=b ha
soluzione per ogni b. Se A e' quadrata queste due condizioni
coincidono". 

Lez 10) 18/10/2017 3 ore:
Teorema (con dim.) "v1,...,vn sono una base di V se e solo se ogni
vettore v di V si esprime in modo unico come combinazione lineare di
v1,...,vn" Definizione di coordinate di un vettore in una base data.
Esempi di calcolo di coordinate in R^2, R[x] e spazi di matrici.
Calcolo delle coordinate tramite risoluzione di sistemi lineari.
Tre definizioni equivalenti (con dimostrazione dell'equivalenza) 
di sottopazio vettoriale generato da un insieme I. Notazione span(I).
Esempi: vettori in K^n, coordinate per moti ellittici in R^3. Somma di
sottospazi, somma diretta. Teorema (con dim) "V e' somma diretta di W1
e W2" se e solo se ogni v in V si esprime in modo unico come v=w1+w2
con w1 in W1 e w2 in W2". Esempio: 2 e' diverso da zero allora lo
spazio delle matrici quadrate e' somma diretta delle simmetriche e
delle antisimmetriche. Formula di Grasmmann (con dim.)
"dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(dell'interesezione di W1 e W2)". 

Lez 11) 23/10/2017 2 ore:
Richiami su Grassmann. Esercizi: Formula di Grassmann applicata a
soluzioni di sistemi dipendenti da parametro. Calcolo della dimensione
dello spazio delle matrici simmetriche e antisimmetriche.
Definizione di applicazione lineare. Esempi e non esempi. Derivata,
valutazione in un punto, trasposta, moltiplicazione tra matrici.
Coordinate in base data v1,...,vn come applicazione lineare da V a K^n
(dimostrazione della linearita'). Nucleo e immagine, definizione e
dimostrazione che sono sottospazi vettoriali. Teorema (con dim.) "Sia
f da V a W lineare. Allora f e' iniettiva se e solo se ker f={0} (ed f
e' suriettiva se e solo se Imm(f)=W)".

Lez 12) 25/10/2017 3 ore:
Richiami su applicazioni lineari, ker e immagine. Definizione di
Hom(V,W) e sua struttura lineare. Teorema (con dim.) "Composizione di
applicazioni lineari e' lineare". Definizione "f in hom(V,W) e'
invertibile se esiste g in hom(W,V) tale che gf=id_V e fg=id_W".
Un'applicazione linerare invertibile si dice isomorfismo lineare.
Teorema (con dim. lasciata per esercizio) "Se f in hom(V,W) e'
iniettiva e suriettiva allora la sua inversa e' lineare". Esempi: le
coordinate sono un isomorfismo tra V e K^n (ove n=dimV). Linearita' in
R^2: un'applicazione e' lineare se e solo se manda parallelogrammi con
vertice nell'origine in parallelogrammi con vertice nell'origine. Caso
del coniugio complesso: e' R-lineare ma non C-lineare. Teorema (con
dim) "f in hom(V,W); se v1,...,vn in V sono linearmente dipendenti
allora anche f(v1),...,f(v_n) lo sono, se v1,...,vn generano V allora
f(v1),...,f(vn) generano Imm(f)". Teorema (con dim.) "f in hom(V,W)
iniettiva; se v1,...,vn in V sono linearmente indipendenti
allora anche f(v1),...,f(v_n) lo sono. Teorema (con dim.) 
"f in hom(V,W) suriettiva; se v1,...,vn generano V allora
f(v1),...,f(vn) generano W".  Corollario (con dim.) "f in hom(V,W)
isomorfismo; se v1,...,vn e' una base di V sono allora anche
f(v1),...,f(v_n) e' una base di W." Corollario (con dim.) "Se V e W
sono isomorfi allora dim(V)=dim(W)". Teorema (con dim.) "Se
dim(V)=dim(W)=n allora V e W sono isomorfi ed entrambi sono isomorfi a
K^n2. Teorema (con dim.) Formula delle dimensioni: "f in hom(V,W),
alloa dim(V)=dim(ker f)+dim(Imm f)". Corollario (con dim.) "Se
dim(V)>dim(W) non esistono f lineari iniettive da V in W, se
dim(V)<dim(W) allora non esistono f lineari suriettive da V in W, se
dim(V)=dim(W)=n allora una f in hom(V,W) e' iniettiva se e solo se e'
suriettiva se e solo se e' un isomorfismo". Esempi ed esercizi sulla
formula delle dimensioni.  Teorema (con dim.) "Se v1,...,vk base di V
e f,g in hom(V,W) sono tali che f(vi)=g(vi) per ogni i allora f=g".
Teorema (con dim.) "Se v1,...,vn sono base di V e w1,...,wn sono
vettori qualsiasi di W allora esiste f in hom(V,W) tale che f(vi)=wi
per ogni i". Teorema (con dim.) "f:K^n -> K^m e' lineare se e solo se
esiste una matrice A in M_{m x n}(K) tale che f(X)=AX". Esempi espliciti 
di come si trova A. Matrice associata a f in hom(V,W) rispetto a basi
fissate B_v di V e B_w di W. Definizione e uso per scrivere f in
coordinate.

Lez 13) 30/10/2017 2 ore:
Matrice associata ad applicazione lineare. Come si usa. Esempi in R^2,
matrice della derivata tra spazi di polinomi, matrice della trasposta
nello spazio delle matrici 2 x 2. Rotazioni di R^2. Rotazioni di R^3
con asse di rotazione sugli assi coordinati. Matrice della derivata e
della derivata seconda nello spazio di funzioni generato da sen(x) e
cos(x). Teorema (con dim.) "La matrice associata alla composizione di
applicazioni lineari e' il prodotto delle matrici". Matrice della
funzione identita' con stessa base in partenza e in arrivo. Corollario
(con dim.) "La matrice dell'inversa e' l'inversa della matrice".
Cambio di base/coordinate. Matrice del cambio di coordinate. Cambio di
base in partenza e in arrivo (Formula M^{-1}AN). Caso esplicito in
K^n. Dati v1,...,vn base di K^n e w1,...,w_n vettori qualsiasi, matrice
dell'unica applicazione lineare tale che f(vi)=wi, espressa in basi
canoniche. Rotazioni di R^3 rispetto ad assi obliqui tramite il
metodo: rotazione che porta l'asse di rotazione sull'asse X tramite
una matrice A, rotazione attorno all'asse X tramite una matrice M, ripristino 
della posizione originaria dell'asse di rotazione tramite A^{-1}, la
formula finale essendo A^{-1}MA.

Lez 14) 06/11/2017 2 ore:

Richiami ed esercizi su matrici associate. Esercizi sul cambio di
basi. Matrice della riflessione di R^2 rispetto ad una retta generica
(passante per l'origine). Definizione di Ker(A) e Imm(A) quando A e'
una matrice. Definizione di rango come dimensione dell'immagine.
Osservazione: l'immagine di A e' lo spazio generato dalle colonne di A. 
Teorema (con dim.) Se A e' una matrice m x n,
M e' una matrice invertibile m x m e N una matrice invertibile n x n
allora Rango(A) = Rango (MAN)".
Teorema (dim. solo per il 30L) "Rango (A)= Rango(A^t)". In altre
parole: il rango per righe e' uguale al rango per colonne.
Corollario (con dim.) "Se A e' una matrice m x n allora il rango di A 
non eccede il piu' piccolo tra m ed n".
Metodo di calcolo del rango tramite scarti successivi. Operazioni
elementari su righe/colonne. Teorema (con dim) "Le operazioni
elementari sulle righe/colonne non cambiano il rango di una matrice".
Riduzione a scalini. Teorema (con dim.) "Il rango di una matrice
ridotta a scala e' il numero delle righe non nulle". Teorema (con
dim.) "Ogni matrice A si puo' ridurre a scala con operazioni elementari
sulle righe, il rango di A e' uguale al rango di una sua qualsiasi
riduzione a scala". Esempi di calcolo di rango. Legami tra operazioni
elementari e risoluzioni di sistemi per sostituzione. Metodo di
Gauss-Jordan per trovare l'inversa di una matrice.

Lez 15) 08/11/2017 3 ore:
Esercizi sul calcolo della dimensione di sottospazi di hom(V,W)
determinati da condizioni lineari. Discussione sul rango: 
Se A e' una matrice m x n allora: R(A)=m se e solo se le colonne
generano K^m se e solo se le righe sono lin. indip.; R(A)=n se e solo
se le colonne sono lin. indip. se e solo se le righe generano K^n. In
particolare se A e' una matrice quadrata n x n allora A e' invertibile
se e solo se R(A)=n. Definizione di sottospazio affine di K^n come
insieme delle soluzioni di un sistema AX=b. Giacitura di un
sottospazio affine, dimensione di un sottospazio affine. Teorema (con
dim) "Se W={AX=b} e X_0 e' un qualsiasi punto di W, allora ogni altro
X in W si scrive come X_0+V con V nella giacitura di W". In altre
parole W = X_0 + giac(W). Teorema (con dim.) (di Rouche' Capelli)
"un sistema in n equazioni AX=b ha soluzione se e solo se R(A)=R(A|b).
La dimensione di {AX=0} e' n-R(A)". Determinante. Aree e volumi
orientati in R^2 e R^3. Determinante di matrici 1 x 1 e 2 x 2.
Definizione di cofattore e sviluppo per riga/colonna. Esempi di
calcolo del determinante. Proprieta' del determinante. Det(I)=1,
det(A)=0 se e solo se A non e' invertibile.
Multilinearita' e alternanza su righe/colonne; det(AB)=det(A)det(B),
det(A^t)=det(A), det(A^{-1})=1/det(A). Determinante di matrici
triangolari. Effetto sul determinante delle operazioni elementari
sulle righe/colonne. Calcolo del determinante mediante riduzione a
scala. Esercizio di calcolo di determinante per matrici dipendenti da
parametro. Matrice dei cofattori. Teorema (con dim.) "(i-esima colonna
di cof(A))^t b= determinante della matrice a cui si e' sostituita la
i-esima colonna con b". Corollario (con dim.)
"A^{-1}=cof(A)^T/det(A)". Regola di Cramer. Formula per l'inversa di
una matrice 2 x 2.

Lez 16) 15/11/2017 3 ore:
Sottomatrici e teorema dei minori orlati (senza dim) "Se una matrice
A ha un minore M non nullo di ordine k allor R(A) e' almeno k, se in
oltre tutti gli orlati di M sono nulli allora R(A)=k". Teorema (con
dim.) "Se una matrice A ha un minore M non nullo, allora le colonne
individuate dal minore sono linearmente indipendenti, in particolare
se R(A)=k e M ha ordine k allora le colonne individuate da M sono una
base di Imm(A)". Equazioni paramentriche e cartesiane di sottospazi
affini di K^n, forma generale e forme contratte. Passaggio da
cartesiane a paramentriche tramite risoluzione del sistema AX=b per
sostituzione. Passaggio da parametriche a cartesiane tramite i minori
orlati oppure attraverso risoluzione del sistema dato dai parametri". 
Posizioni reciproche di sottospazi affini. W1 e W2 s.s.a. di K^n con
dim(W1)<=dim(W2)<n. Ci sono tre casi: (1) giac(W1)<=giac(W2) e in tal
caso W1 e W2 possono essere paralleli (se la loro intersezione e'
vuota) o incluso uno nell'altro (se la loro intersezione e' non
vuota); (2) giac(W1)+giac(W2) diverso da W2 e non tutto K^n, in ta
caso W1 e W2 possono essere incidenti in posizione non generica (se la
loro intersezione e' non vuota) o sghembi (se la loro intesezione e'
vuota); (3) giac(W1)+giac(W2)=K^n e in tal caso Teorema (dim lasciata
per casa) "in tal caso l'intersezione e' non vuota e vale la formula
di Grassmann per le dimensioni". Esempi ed esercizi.

Lez 17) 27/11/2017 2 ore:
Punti affinemente indipendenti. Combinazioni affini. Teorema (con
dim.) "Se P0,...,Pk sono punti affinemente indipendenti di K^n allora
esiste un unico sottospazio affine k-dimensionale W di K^n che
contiene tutti i Pi. W ha equazioni paramentriche P0+span(v1,...,vk)
ove vi=Pi-P0". Teorema (dim per casa) "W coincide con l'insieme delle
combinazioni affini dei Pi". Equazione di retta per due punti e di
piano per tre punti. Teorema (dim per casa) "Ogni punto di W si
esperime in modo unico come combinazione affine dei Pi". Coordinate
baricentriche. Discussione sul significato fisico delle coordinate
baricentriche. Definizione di trasformazione affine come mappa del
tipo f(X)=AX+b. A si dice parte lineare e b termine di traslazione.
Teorema (dimostrato solo "se f e' affine allora...") 
"f e' affine se e solo se commuta con le combinazioni affini". f si
dice affinita' se A e' invertibile. Teorema (con dim.) "P0,...,Pn
affinemente indipendenti di K^n, Q0,...Qn qualsiasi, allora esiste una
unica trasformazione affine f tale che f(Pi)=Qi". Metodo per trovare
esplicitamente A e b. Esercizi su trasformazioni affini.

Lez 18) 29/11/2017 3 ore:
Endomorfismi. End(V)=hom(V,V). Esempi: le trasformazioni lineari di
R^3, la derivata su spazi di polinomi, la trasposta come endomorfismo
dello spazio delle matrici 2x2. Cambio di base per endomorfismi
(sempre stessa base in partenza e in arrivo). Formula: M^{-1}AM.
Matrici simili. Teorema (con dim.) "due matrici sono simili se e solo
se rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse". Polinomi di
endomorfismi, definizione ed esempi con derivata e trasposta. 
Sottospazi invarianti e matrici a blocchi. Esempio: le rotazioni in R^3.
Definizione di autovalori e autovettori. Definizione di Autospazi.
Teorema (con dim.) "V_a=ker(f-aId)". Teorema (con dim.) "Autospazi di
autovalori diversi sono in somma diretta" Teorema (con dim.) "Gli
autospazi sono invarianti". Teorema (con dim.) "a e' autovalore se e
solo se V_a e' non nulle se e solo se det(M-aId)=0, ove M e' la
matrice di f in una base qualsiasi".
Definizione di polinomio caratteristico di una matrice. Teorema (con
dim.) "Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico".
Definizione di polinomio caratteristico di un endomorfismo. Teorema
(con dim.) "a e' autovalore se e solo se e' radice del polinomio
caratteristico". Definizione di molteplicita' algebrica e geometrica.
Metodo esplicito per calcolare V_a tramite risoluzione di sistemi
lineari. Esempi espliciti di calcolo di autovalori/vettori e
molteplicita': la derivata, le rotazioni in R^3, le rotazioni in R^2
e C^2, la trasposta sullo spazio delle matrici 2x2.

Lez 19) 04/12/2017 2 ore:
Richiami ed esercizi di calcolo di molteplicita' algebriche e
geometriche. Teorema (con dim.) "1<=m_g(lambda)<=m_a(\lambda)<=dim(V)". 
Osservazione "la somma delle molteplicita' algebriche degli autovalori
non eccede dim(V)=grado del polinomio caratteristico". Definizione "f
in End(V) e' triangolabile se V ammette una base v1,...,vn tale che
per ogni k f(vk) e' in span (v1,...,vk)". Definizione "Una matrice
quadrata A e' triangolabile se e' simile a una matrice triangolare".
Teorema (dimostrato in classe solo una delle implicazioni) "f e'
triangolabile se e solo se la matrice di f in una base qualsiasi e'
triangolabile". Definizione "f in End(V) e' diagonalizzabile se V
ammette una base fatta di autovettori di f". Definizione "Una matrice
quadrata A e' diagonalizzabile se e' simile a una matrice diagonale".
Teorema (con dim.) "f e' diagonalizzabile se e solo se la matrice di f
in una base qualsiasi e' diagonalizzabile". Teorema (no dim.) "f in
End(V) e' triangolabile se e solo se la somma delle molteplicita'
algebriche degli autovalori e' uguale alla dimensione di V" Corollario
(con dim) "Se K=C allora tutti gli endomorfismi sono triangolabili".
Esempi di endomorfismi non triangolabili di R^3 (rotazioni). Teorema
(con dim.) "f in End(V) e' diagonalizzabile se e solo se la somma
delle molteplicita' geometriche degli autovalori e' uguale alla
dimensione di V" Teorema (con dim.) "f in End(V) e' diagonalizzabile
se e solo se e' triangolabile e le molteplicita' algebriche e
geometriche degli autovalori coincidono". Esempi. Esempi di matrici
non simili con lo stesso polinomio caratteristico (molteplicita'
geometriche diverse). Esercizi: diagonalizzabilita', triangolabilita',
basi di autovettori. 

Lez 20) 06/12/2017 3 ore:
Teorema (con dim.) "Un autovalore semplice (cioe' con molteplicita'
algebrica 1) ha molteplicita' geometrica uno." Corollario (con dim.)
"Se un endomorfismo di uno spazio n-dimensionale ha n autovalori
distinti allora e' diagonalizzabile". Teorema (senza dim.) "Una
matrice simmetrica a coefficienti reale e' sempre diagonalizzabile".
Esempio di matrice simmetrica non diagonalizzabile su Z/2Z. 
Matrice della derivata nella base 1,x,x^2/2. Dinamica
delle file del supermercato. Blocchi di Jordan, matrici di Jordan.
Autospazi generalizzati, la dimensione dell'autospazio generalizzato e'
la molteplicita' algebrica. Teorema (non dim.) "f e' un
endomorfismo triangolabile di V se e solo se V e' somma diretta degli
autospazi generalizzati, che sono invarianti". Teorema (no dim.) "Ogni
endomorfismo triangolabile ammette una forma di Jordan, che e' unica a
mano di permutazioni dei blocchi, in particolare due matrici (a
coefficienti complessi) sono simili se e solo se hanno la stessa forma
di Jordan". Diagrammi di Young e algoritmo per determinare la forma di
Jordan. Esempi ed esercizi.

Lez 21) 11/12/2017 2 ore:
Forme bilineari, definizione e propriet\`a. Esempi, tra cui:
determinante 2x2, X^tAY, intergrale di fg. Spazio bil(V). Teorema (con
dim.) "Ogni forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che
assume su una base". Matrice associata a una forma bilineare in una
base data. Isomorfismo tra bil(V) e spazio delle matrici quadrate.
Cambio di base, formula M^tAM. Forme simmetriche e antisimmetriche.
Teorema (con dim.) "Una forma bilineare \`e simmetrica (o
antisimmetrica) se e solo se la sua matrice inuna base qualsiasi lo
e'". Esempio la matrice della forma bilineare traccia(AB) e'
simmetrica, ergo tr(AB)=tr(BA). Teorema (con dim.) "Se 1+1 e' diverso
da zero, bil(V) e' somma diretta delle simmetriche e delle
antisimmetriche".  Definizione di forma quadratica
associata a una forma bilineare. Teorema (con dim.) "Una forma
simmetrica e' determinata dalla sua forma quadratica". Metodo per
scrivere la matrice associata alla forma simmetrica partendo dalla
forma quadratica. Definizione di forma degenere. Teorema (con dim.)
"una forma e' non degenere se e solo se la sua matrice in una base
qualsiasi ha determinante diverso da zero". Definizione di prodotto
scalare su spazi vettoriali su R, come forma bilineare simmetrica
definita positiva. Esempi. Integrale di fg e' prodotto scalare.
Criteri per controllare se una matrice simmetrica rappresenta un prod.
scalare: criterio degli autovalori positivi e criterio dei minori
principali. 

Lez 22) 13/12/2017 3 ore:
Richiami su forme bilineari e prodotti scalari. Discussione dei
prodotto hermitiani su spazi complessi. Spazio di Minkowski.
Segnatura, definizione (n0,n+,n-) e teorema (senza dim.)
dell'indipendenza dalla base scelta per calcolare la segnatura. Metodo
del completamento dei quadrati e diagonalizzazione delle forme
quadratiche. Applicazione al calcolo della segnatura. Norma indotta da
un prodotto scalare, disuguaglianza di Schwarz (con dim.). Definizione
di angolo tra vettori. Esempio: angolo tra 1 e x in R[x]: col prodotto
scalare dato dall'integrazione tra 0 e 1 viene 30gradi, con
l'integrazione tra -1 e 1 viene 90gradi.
Ortogonalita'. Definizione di v ortogonale e
dell'ortogonale di un un insieme. Teorema (con dim) "l'ortogonale di un
insieme e' un sottospazio vettoriale" Teorema (no dim) "In dimensione
finita l'ortogonale dell'ortogonale di I e' span(I), in particolare se
W e' un sottospazio, l'ortogonale dell'ortogonale di W e' W stesso".
Equazioni parametriche e cartesiane di W corrispondono rispettivamente 
alle equazioni cartesiane e parametriche dell'ortogonale di W.
Teorema (con dim) "V e' somma diretta di span(v) e v ortogonale".
Proiezione di un vettore w lungo v. Proiezione di un vettore w lungo
l'ortogonale di V. Definizione di base ortogonale e ortonormale. Basi
ortogonali corrispondono a matrici diagonali e a forme quadratiche
senza prodotti misti, basi ortonormali corrispondono alla matrice
identita' e la forma standard x1^2+...+xn^2. Teorema (con dim) "Ogni
spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare ammette una base
ortonormale" (dimostrazione attraverso la diagonalizzazione della
forma quadratica e un successivo riscalamento)

Lez 23) 18/12/2017 2 ore:
Basi ortonormali e matrici ortogonali: trasposta = inversa. 
I cambi di base attraverso matrici ortogonali valgono sia per gli
endomorfisi che per le forme bilineari. Teorema (con dim) "Se
v1,...,vn e' una base ortonormale di uno spazio vettoriale su R dotato
di un prod. scal. <,>, allora l'iesima coordinata di un vettore v non
e' altro che <v,vi>". Processo di otrogonormalizzazione di
Gram-Schmidt (con dimostrazione). Ortonormalizzazione della base
canonica dei polinomi rispetto al prod scal standard.
Discussione su come generalizzare GS in casi di forme bilineari
simmetriche che non siano necessariamente dei prodotti scalari.
Esempio in R^3. Esempio di uso di GS per scrivere la matrice di una
rotazione di R^3 con asse generico.
Teorema spettrale (con dim.) "Una matrice simmetrica
reale ammette sempre una base ortonormale di autovettori".
Lemma 1 (dim. non fatta in classe) "A ha almeno un autovettore", 
Lemma 2 "Se v e' autovettore di A allora l'ortogonale di v e' invariante"   
Lemma 2 "Autospazi di A relativi ad autovalori diversi sono ortogonali
tra loro". Morale della favola: si fa GS sugli autospazi separatamente.
Discussione su operatori autoaggiunti e generalizzazioni del teorema
spettrale.

Lez 24) 20/12/2017 3 ore:
Teorema (con dim) "V=W somma diretta W ortogonale" proiezioni su
sottospazi tramite uso di basi ortonormali. Distanze. Distanza indotta
da prodotto scalare (con dim. della disuguaglianza triangolare).
Metodi per calcolare la distanza tra un punto e un sottospazio affine,
usando le parametriche di W o quelle di W ortogonale (cioe' le
cartesiane di W). Distanza punto piano e punto retta in R^3. Distanza
tra sottospazi affini in generale. Isometrie, definizione. Teorema (no
dim) "un'isometria e' sempre affine". Caratterizzazione di isometrie
lineari in termini matriciali: in una base ortonormale la matrice e'
ortogonale. "Isometrie" dello spazio di Minkowsi e trasformazioni di
Lorenz. Quadriche e coniche. Classificazione affine con le coniche
tramite il completamento dei quadrati e in termini di segnatura e
rango delle matrici associate.