Lezione del 19.09
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Argomenti svolti, in estrema sintesi: spazi vettoriali geometrici, spazi vettoriali, rappresentazioni vettoriali di rette, piani e spazio. 

Un po' più in dettaglio:

Notazione per insieme dei punti di retta, piano, spazio euclidei: E^1, E^2, E^3.
Corrispondenza biunivoca fra l'insieme R dei numeri reali e l'insieme E^1, secondo un sistema di riferimento.

Nozione. Segmento orientato AB di primo estremo A ed ultimo estremo B.
Definizione. Relazione di equivalenza fra segmenti orientati, in termini di lunghezza, parallelismo e verso.
Proposizione. Dati AB e A', esiste uno ed un solo A'B' equivalente ad AB; costruzione mediante parallelogramma.

In E^2. Fissato un punto O, vettori centrati in O; notazione V^2_O per loro insieme. Vettore nullo, opposto di un vettore. Scalare come sinonimo di numero reale.
Definizione. Somma di vettori.
Proprietà del vettore nullo; proprietà dell'opposto di un vettore.
Commutatività. Associatività.
Differenza di due vettori. Somma di tre o più vettori.
Definizione. Prodotto di uno scalare per un vettore.
Proprietà che legano le operazioni di somma e prodotto di scalari, di prodotto di scalari per vettori e di somma di vettori.
Analogamente in E^1, E^3.
Spazi vettoriali geometrici V^1_O, V^2_O, V^3_O. 

Definizione di spazio vettoriale come insieme di oggetti detti vettori, dotato di due operazioni,
una che da due vettori crea un vettore e una che da uno scalare ed un vettore crea un vettore,
che posseggono le proprietà evidenziate per gli spazi vettoriali geometrici.

In E (uno degli E^i) fissato un punto O.
Dato un punto P_1 diverso da O, rappresentazione vettoriale della retta r per O e P_1:
   r= {P in E tali che OP= aOP_1 per qualche a in R};
in particolare si ha:
   {P in E^1 tale che PO= aOP_1}= E^1.
In E (uno fra E^2 ed E^3) fissato un punto O.
Dati due punti P_1 e P_2 non allineati con O, rappresentazione vettoriale del piano pi_greco per O, P_1 e P_2:
   pi_greco= {P in E tali che OP= aOP_1 + bOP_2 per qualche a e b in R};
in particolare si ha:
   {P in E^2 tali che OP= aOP_1 + bOP_2 per qualche a e b in R}= E^2.
In E^3.
Dati tre punti P_1, P_2 e P_3 non allineati con O, si ha:
   {P in E^3 tali che OP= aOP_1 + bOP_2 +cOP_3 per qualche a,b,c in R}= E^3.
Queste uguaglianze sono state motivate usando le definizioni delle operazioni e le seguenti nozioni di proiezione.
In E^2, date due rette r ed s incidenti in un punto (uno ed uno solo), proiezione di un punto su r parallelamente a s.
In E^3, dati un piano pi_greco ed una retta s incidenti in un punto (uno ed uno solo),
proiezione di un punto su pi_greco parallelamente a s e proiezione di un punto su s parallelamente a pi_greco.