Lezione del 20.09
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Argomenti svolti, in estrema sintesi:
Sottospazi, combinazioni lineari, sottospazio generato da dati vettori, indipendenza lineare, base di un sottospazio, coordinate. 

Un po' più in dettaglio:

Nello spazio vettoriale geometrico V^3_O. Notazioni.
Per ciascuna retta r passante per O, indico con V^r_O l'insieme dei vettori applicati in O che stanno sulla retta r;
per ciascun piano p passante per O, indico con V^p_O l'insieme dei vettori applicati in O che stanno sul piano p.

Sottospazi.
In V^3_O. Osservazioni.
Ciascun insieme V^r_O (r retta per O) è chiuso rispetto alle operazioni di somma di vettori e prodotto di scalari per vettori;
anche ciascun insieme V^p_O (p piano per O) è chiuso rispetto a queste operazioni.
Per V spazio vettoriale qualsiasi. Definizione di sottospazio di V.  
In V^3_O. Ripresa delle osservazioni.
Gli insiemi V^r_O (r retta per O) e V^p_O (p piano per O) sono sottospazi di V^3_O;
anche l'insieme {0} (che ha unico elemento il vettore nullo) e l'insieme V^3_O sono sottospazi di V^3_O.
Proposizione. Questi insiemi sono tutti e soli i sottospazi di V^3_O.
Fatto. Data una retta r non passante per O, l'insieme {OP; P in r} non è un sottospazio di V^3_O.
Comunque, indicata con r* la retta per O parallela alla retta r, e scelto un punto Q su r, si ha {OP; P in r}= {OQ + v; v in V^r*_O}.
Analogamente per l'insieme {OP; P in p} con p piano non passante per O.

Combinazioni lineari; sottospazio generato da dati vettori.
In V^3_O. Osservazioni.
Dato un vettore v_1 non nullo ed indicata con r la retta che lo contiene, si ha V^r_O= {av_1; a in R}.
Dati due vettori v_1 e v_2 non allineati ed indicato con p il piano che li contiene, si ha V^p_O= {av_1 + bv_2; a,b in R}.
Dati tre vettori v_1,v_2,v_3 non complanari, si ha V^3_O= {av_1 + bv_2 + cv_3; a,b,c in R}.
Per V spazio vettoriale qualsiasi.
Combinazione lineare av_1 + av_2 + ... + av_n dei vettori v_1,v_2,...,v_n con coefficienti scalari a_1,a_2,...,a_n.
Definizione di sottospazio di V generato da dati vettori v_1,v_2,...,v_n, e notazione Span{v_1,v_2,...,v_n} per esso;
verifica che contiene ciascun vettore v_i e che è un sottospazio di V.  
In V^3_O. Ripresa delle osservazioni.
Nella stessa notazione si sopra, si ha
V^r_O= Span{v_1} (v_1 sulla retta r, non nullo)
V^p_O= Span{v_1,v_2} (v_1 e v_2 sul piano p, non allineati)
V^3_O= Span{v_1,v_2,v_3} (v_1,v_2,v_3 non complanari).

Indipendenza Lineare.
In V^3_O. Osservazioni.
Se due vettori v_1,v_2 non sono allineati, allora l'uguaglianza av_1 + bv_2 = 0 (a,b scalari; 0 vettore nullo) vale solo per a=b=0.
Se due vettori v_1,v_2 sono allineati, allora esistono due scalari a*,b* non entrambi nulli tali che a*v_1 + b*v_2 = 0 (0 vettore nullo).
Caso di tre vettori.
Per V spazio vettoriale qualsiasi.
Definizione di vettori v_1,v_2,...,v_n linearmente indipendenti oppure dipendenti.
In V^3_O. Ripresa delle osservazioni.
V^r_O= Span{v_1} (v_1 sulla retta r, linearmente indipendente)
V^p_O= Span{v_1,v_2} (v_1 e v_2 sul piano p, linearmente indipedenti)
V^3_O= Span{v_1,v_2,v_3} (v_1,v_2,v_3 linearmente indipedenti).

Basi e Coordinate.
Per V spazio vettoriale qualsiasi.
Definizione. v_1,v_2,...,v_n è una base di un sottospazio W di V se: (1) Span{v_1,v_2,...,v_n}= W, (2) v_1,v_2,...,v_n sono linearmente indipendenti.
Proposizione. Sia v_1,v_2,...,v_n una base di un sottospazio W; allora ogni v in W si può scrivere in uno ed un solo modo come v= a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n;
gli scalari a_1,a_2,...,a_n si dicono coordinate di v rispetto alla base v_1,v_2,...,v_n.
Motivazione della proposizione.