Lezione del 26.09
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Argomenti svolti, in estrema sintesi: Dimensione. Lunghezze, angoli e prodotto scalare. Aree e prodotto vettoriale. 

Un po' più in dettaglio:

Dimensione.
In V^_2_O. Osservazione. Ogni sequenza di due vettori v_1,v_2 linearmente indipendenti è una base di V^2_O;
non ci sono basi di V^2_O con un numero di vettori minore di 2 o maggiore di 2.
Teorema. Sia V uno spazio vettoriale qualsiasi. Se V possiede una base di n vettori, allora tutte le basi di V hanno n vettori.
Definzione. Dimensione di uno spazio vettoriale come numero dei vettori di una sua base.
Esempi. dim(V^1_O)= 1, dim(V^2_O)= 2, dim(V^3_O)= 3. Lo spazio vettoriale che ha solo il vettore nullo ha dimensione 0. 

Esempio di uso di sottospazi e basi.
In un cubo, si considerano due diagonali corte e una diagonale lunga uscenti da uno stesso vertice. Verificare che non sono complanari.
Traccia: considero V^3_O, con O il vertice in esame; indico con d_1,d_2,f i vettori diagonali corte e diagonale lunga uscenti da O;
d_1,d_2,f sono complanari se e solo se f appartiene a Span{d_1,d_2};
considero la base i,j,k di V^3_O individuata dai lati del cubo incidenti con O ed esprimo d_1,d_2,f rispetto a i,j,k ...

Lunghezze, angoli e prodotto scalare.
Nel piano E^2, fissata una unità di misura.
Nozioni sugli angoli. Per due semirette r ed s non allineate con origine comune in un punto O,
angolo fra r ed s come parte convessa del piano da esse delimitata. Casi degeneri.
Misura in radianti di un angolo. Coseno di un angolo.
In V^3_O, fissata una unità di misura.
Lunghezza di un vettore. Versore. Corrispondenza fra vettori, versori e semirette.
Angolo e coseno di due vettori non nulli.
Definzione del prodotto scalare u.v di un vettore u per un vettore v.
Se u e v sono entrambi non nulli, u.v è lo scalare prodotto di lunghezza di u, lunghezza di v, coseno dell'angolo fra u e v. 
Se uno fra u e v è nullo, u.v è lo scalare 0.
Osservazioni. Prodotto scalare di due vettori che formano un angolo nullo, acuto, retto, ottuso, piatto.
Proprietà. Legame fra l'operazione di prodotto scalare e le operazioni di somma di vettori e di prodotto di scalari per vettori; commutatività. 
Fatto. Come derivare lunghezze di vettori e coseni di coppie di vettori dai loro prodotti scalari.
Applicazione. Dato un cubo unitario, calcolare l'angolo fra due diagonali corte uscenti da uno stesso vertice.
Compito. Calcolare l'angolo fra una diagonale corta ed una diagonale lunga uscenti da uno stesso vertice.


In V^3_O. Aree e Prodotto vettoriale.
Nozione. Terne di vettori linearmente indipendenti destrorse o sinistrorse. 
Definizione del vettore u x v prodotto vettoriale di due vettori u e v.
Se u e v sono linearmente indipendenti, u x v è il vettore caratterizzato da:
(1) u x v ha lunghezza uguale all'area del parallelogramma individuato da u e v,
(2) u x v è ortogonale al piano indiviaduato da u e v,
(3) la terna u, v, u x v è destrorsa.
Se u e v sono linearmente dipendenti, u x v è il vettore nullo 0.
Esempio. Per una terna destrorsa di versori i,j,k a due a due ortogonali, tabella di tutti i loro prodotti vettoriali.
Proprietà. Legame fra l'operazione di prodotto vettoriale e le operazioni di somma di vettori e di prodotto di scalari per vettori; anticommutatività.
Compito. Calcolo dell'area di un parallelogramma ottenuto sezionando un cubo con un piano passante per una diagonale lunga del cubo.