Lezione del 03.10
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Argomenti svolti, in estrema sintesi:
Spazio vettoriale numerico R^n; identificazione degli spazi vettoriali V^3_O ed R^3.
Sistemi di riferimento e coordinate nello spazio E^3. Equazioni parametriche della retta.

Un po' più in dettaglio:

*Spazio vettoriale numerico R^n.

Riassunto di una parte della lezione precedente.
Insieme R^2 delle coppie ordinate x=(x_1,x_2) di numeri reali.
Somma di due coppie; moltiplicazione di un numero reale per una coppia.
Fatto. L'insieme R^2 con le operazioni definite è uno spazio vettoriale.
Fatto. I vettori e_1=(1,0), e_2=(0,1) formano una base, detta "base canonica", di R^2.
Dunque R^2 è uno spazio vettoriale di dimensione 2.

Generalizzazione.
Insieme R^n delle n-ple ordinate x=(x_1,x_2,...,x_n) di numeri reali (n intero positivo fissato).
Somma di due n-ple; moltiplicazione di un numero reale per una n-pla.
Fatto. L'insieme R^n con le operazioni definite è uno spazio vettoriale.
Fatto. I vettori e_1=(1,0,...,0), e_2=(0,1,...,0), ..., e_n=(0,0,...,1) formano una base, detta "base canonica", di R^n.
Dunque R^n è uno spazio vettoriale di dimensione n.

*Identificazione degli spazi vettoriali V^3_O ed R^3.

Riassunto di una parte della lezione precedente.
Sia v_1,v_2 una base dello spazio vettoriale geometrico V^2_O;
associando a ciascun vettore geometrico le sue coordinate rispetto a v_1,v_2 si ha una funzione V^2_O -> R^2;
questa funzione è biiettiva ed è compatibile con le operazioni di somma e prodotto per scalari in V^2_O ed R^2.

Analogamente si ha:
Sia v_1,v_2,v_3 una base dello spazio vettoriale geometrico V^3_O;
associando a ciascun vettore geometrico le sue coordinate rispetto a v_1,v_2,v_3 si ha una funzione V^3_O -> R^3;
questa funzione è biiettiva ed è compatibile con le operazioni di somma e prodotto per scalari in V^3_O ed R^3.

*Sistemi di riferimento e coordinate nello spazio E^3.

Sia O un punto fissato in E^3 e siano i,j,k vettori applicati in O non complanari.
Associando a ciascun punto P il vettore geometrico OP si ha una funzione biiettiva E^3 -> V^3_O;
associando a ciascun vettore geometrico OP le sue coordinate rispetto a i,j,k si ha una funzione biiettiva V^3_O -> R^3; dunque
associando a ciascun punto P in E^3 il vettore numerico (x,y,z) in R^3 caratterizzato dalla condizione
   OP= xi + yj + zk,
si ha una funzione biiettiva E^3 -> R^3.
Si dice che O,i,j,k è un sistema di riferimento nello spazio E^3 e che P ha coordinate (x,y,z) in tale sistema di riferimento;
si identifica il punto P con la le terna ordinata (x,y,z) e in breve si scrive P=(x,y,z).

*Equazioni parametriche di rette in E^3.

Sia O,i,j,k un sistema di riferimento nello spazio E^3.

Proposizione. Sia v un vettore non nullo applicato in O e sia A un punto in E^3. 
Un punto P appartiene alla retta parallela al vettore v passante per il punto A se e solo se
   OP= OA + tv,   per qualche scalare t in R.
Si dice che questa equazione è una "equazione parametrica vettoriale" della retta e che il vettore v è "un vettore direttore" della retta.
Posto P=(x,y,z), A=(a,b,c) e v=(l,m,n), l'equazione parametrica vettoriale diviene
   xi + yj + zk= ai + bj + ck + t(li + mj + nk),   per qualche scalare t in R;
cioè (per l'unicità della scrittura di un vettore rispetto ad una base)
   x= a + lt
   y= b + mt
   z= c + nt   per qualche scalare t in R.
Si dice che queste equazioni sono "equazioni parametriche scalari", in breve "equazioni parametriche" della retta.

Esempio.
Le equazioni parametriche della retta r con vettore direttore (1,-1,2) e passante per il punto (0,2,3) sono
   x= t
   y= 2 - t
   z= 3 +2t
Un punto sta sulla retta r se e solo se le sue coordinate si ottengono da queste equazioni per qualche valore del parametro t.
Esempi: per t=1 si ottiene il punto (1,1,5) sulla retta r; il punto (3,4,5) non sta sulla retta r, perchè non esiste alcun valore di t tale che
   3= t
   4= 2 - t
   5= 3 + 2t.