Lezione del 11.10
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Argomenti svolti, in sintesi:

Equazioni parametriche di rette nel piano e nello spazio (ripresa); retta per due punti.
Equazioni parametriche di piani nello spazio; piano per tre punti.
Equazioni cartesiane di rette nel piano (ripresa) e di piani e rette nello spazio.
Da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane e viceversa.

Un po' più in dettaglio:


*Fatto (ripresa).
Nello spazio o piano o retta, con un punto fissato O; per ciascun segmento orientato AB, il vettore applicato in O equivalente ad AB è OB-OA.


*Equazioni parametriche di rette nel piano e nello spazio (ripresa).
Nello spazio o piano; fissato un punto O.
Sia r una retta, P_0 un punto di r, v un vettore applicato in O parallelo ad r, non nullo. Allora un punto P appartiene ad r se e solo se

   OP= OP_0 + tv   per qualche t in R

("equazione parametrica" vettoriale di r; v "un vettore direttore" di r).
Due rette con vettori direttori v e w sono parallele se e solo se v e w sono proporzionali.
Nel piano; fissato un sistema di riferimento, posto P=(x,y), P_0=(x_0,y_0), v=(m,n),
l'equazione vettoriale geometrica si traduce nella equazione vettoriale numerica

   |x|= |x_0| + t |m|
   |y|  |y_0|     |n|   per qualche t in R

Nello spazio; fissato un sistema di riferimento, posto P=(x,y,z), P_0=(x_0,y_0,z_0), v=(m,n,p),
l'equazione vettoriale geometrica si traduce nella equazione vettoriale numerica

   |x|  |x_0|     |m|
   |y|= |y_0| + t |n|
   |z|  |z_0|     |p|   per qualche t in R.


*Equazioni parametriche della retta per due punti.
Nello spazio o piano; fissato un punto O.
Sia r la retta per due punti distinti P' e P". Allora r ha un vettore direttore OP"-OP' ed ha equazione parametrica

   OP= OP' + t(OP"-OP')   t in R.

Fissato un sistema di riferimento, questa equazione geometrica si traduce in una equazione numerica.


*Equazioni parametriche dei piani nello spazio.
Nello spazio; fissato un punto O.
Siano pi un piano, P_0 un punto di pi, u e v due vettori non nulli applicati in O paralleli a pi, non proporzionali.
Allora un punto P appartiene al piano pi se e solo se

   OP= OP_0 + st + tv   per qualche s,t in R 

("equazione parametrica" vettoriale di pi; u e v "due vettori giacitura" di pi).
Un piano con vettori giacitura u e v è parallelo ad un piano con vettori giacitura u' e v' se e solo se u e v sono combinazione lineare di u' e v' e viceversa.
Fissato un sistema di riferimento (O,i,j,k), posto P=(x,y,z), P_0=(x_0,y_0,z_0), u=(a,b,c) e v=(d,e,f),
l'equazione vettoriale geometrica si traduce nella equazione vettoriale numerica

   |x|  |x_0|     |a|     |d|
   |y|= |y_0| + s |b| + t |e|
   |z|  |z_0|     |c|     |f|   per qualche s,t in R.


*Equazioni parametriche del piano per tre punti.
Nello spazio; fissato un punto O.
Sia pi il piano per tre punti non allineati P*,P',P". Allora pi ha due vettori giacitura OP'-OP* e OP"-OP* ed ha equazione parametrica

   OP= OP* + s(OP'-OP*) + t(OP"-OP*)   s,t in R

Fissato un sistema di riferimento, questa equazione geometrica si traduce in una equazione numerica.


*Equazioni cartesiane delle rette nel piano (ripresa).
Nel piano; fissato un punto O.
Sia r una retta, P_0 un punto di r, e v un vettore applicato in O ortogonale ad r, non nullo.
Allora un punto P appartiene ad r se e solo se P_0P è ortogonale a v cioè

   (OP-OP_0).v = 0   (prodotto scalare di OP-OP_0 per v uguale a 0)

("equazione cartesiana" di r; v "un vettore normale" ad r).

Due rette con vettori normali v e w sono parallele se e solo se v e w sono proporzionali.
Fissato un sistema di riferimento ortogonale monometrico, posto P=(x,y), P_0=(x_0,y_0) e v=(a,b),
l'equazione geometrica si traduce nella equazione numerica
   |x-x_0|.|a| = 0
   |y-y_0| |b|
cioè

   a(x-x_0)+b(y-y_0)=0

Questa è una equazione di primo grado in x,y. Viceversa, ciascuna equazione di primo grado in x,y

   ax + by + c = 0   (con (a,b) diversa da (0,0))

ha per soluzioni le coordinate dei punti di una retta, una retta ortogonale al vettore (a,b).


*Equazioni cartesiane dei piani nello spazio.
Nello spazio; fissato un punto O.
Sia pi un piano, P_0 un punto di pi, v un vettore applicato in O ortogonale a pi, non nullo.
Allora un punto P appartiene al piano pi se e solo se P_0P è ortogonale a v, cioè

   (OP-OP_0).v = 0

("equazione cartesiana" di pi; v "un vettore normale" di pi).
Due piani con vettori normali v e w sono paralleli se e solo se v e w sono proporzionali.
Fissato un sistema di riferimento ortogonale monometrico, posto P=(x,y,z), P_0=(x_0,y_0,z_0) e v=(a,b,c),
l'equazione geometrica si traduce nella equazione numerica

   a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.

Questa è una equazione di primo grado in x,y,z. Viceversa, ciascuna equazione di primo grado in x,y,z

   ax + by + cz + d = 0   (con (a,b,c) diversa da (0,0,0))

ha per soluzioni le coordinate dei punti di un piano, un piano ortogonale al vettore (a,b,c).


*Equazioni cartesiane delle rette nello spazio.
Nello spazio; fissato un punto O.
Sia r una retta, P_0 un punto di r, u e v due vettori applicati in O ortogonali ad r, non proporzionali.
Allora un punto P appartiene alla retta r se e solo se P_0P è ortogonale a u e v, cioè

   (OP-OP_0).u = 0
   (OP-OP_0).v = 0

(sistema di equazioni cartesiane di r).
Fissato un sistema di riferimento ortogonale monometrico, posto P=(x,y,z), P_0=(x_0,y_0,z_0), u=(a,b,c), v=(d,e,f),
il sistema di equazioni geometriche si traduce nel sistema di equazioni numeriche

   a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0
   d(x-x_0)+e(y-y_0)+f(z-z_0)=0

Questo è un sistema di due equazioni di primo grado in x,y,z. Viceversa, ciascun sistema di equazioni di primo grado in x,y,z

   ax + by + cz + g = 0
   dx + ey + fz + h = 0   (con (a,b,c) e (d,e,f) non nulle e non proporzionali)

ha per soluzioni le coordinate dei punti di una retta, una retta ortogonale ai vettori (a,b,c) e (d,e,f).


*Da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane e viceversa.
Equazioni parametriche di un oggetto geometrico permettono di dare in modo diretto punti appartenenti all'oggetto:
assegnare un valore al parametro e valutare le equazioni. 
Equazioni cartesiane di un oggetto geometrico permettono di stabilire in modo diretto se un punto appartiene all'oggetto:
sostituire le coordinate del punto nelle equazioni e vedere se sono soddisfatte.

Per rette nel piano, si può passare direttamente da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane e viceversa. 
Per rette nello spazio, si può passare in modo diretto da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane; il viceversa non è così diretto.
Per piani nello spazio, si può passare in modo diretto da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche; il viceversa non è così diretto.