Lezione del 18.10
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Argomenti svolti, in sintesi:

Si č iniziato un nuovo argomento: applicazioni lineari fra spazi vettoriali, algebra delle matrici, trasformazioni del piano e dello spazio.
Si č svolta una introduzione alle applicazioni lineari fra spazi vettoriali.

Un po' pił in dettaglio:

Applicazione di V^2_O in sč stesso data dalla rotazione di 45° in senso antiorario attorno ad O;
compatibilitą con le operazioni di somma di vettori e di prodotto di scalari per vettori;
fissata una base ortonormale (destrorsa) di V^2_O, identificazione con un'applicazione di R^2 in sč stesso.

Definizione. Un'applicazione fra spazi vettoriali f:V->W si dice "lineare" se
 f(v'+v")= f(v') + f(v")
 f(av)= af(v)
per ogni v,v',v" in V ed ogni a in R.

Problema. Caratterizzare le applicazioni lineari R^n->R^m, per ogni n,m.

Esempio. Ciascuna applicazione R->R, x->mx (moltiplcazione per una costante m) č lineare.
Esempio. L'applicazione R->R, x->x+1 non č lineare.

Teorema. Le applicazioni lineari R^n->R^m sono tutte e sole quelle del tipo
 |x_1|    |a_1x_1+ ... + a_nx_n|
 |...| -> |b_1x_1+ ... + b_nx_n| (m componenti)
 |x_n|    |...                 |
          |c_1x_1+ ... + c_nx_n|
dove a_1,...,a_n,b_1,...,b_n,...,c_1,...,c_n sono costanti in R.

Esempio: Le applicazioni lineari R^2->R^3 sono tutte e sole quelle del tipo
 |x| -> |ax+by|
 |y|    |cx+dy|
        |ex+fy|
dove a,b,c,d,e,f sono costanti in R.