Lezione del 24.10
-----------------

Argomenti svolti, in sintesi:

Vettori riga, vettori colonna, vettori; prodotto di vettori riga per vettori colonna; proprietà.
Matrici; prodotto di matrici; matrici unità; associatività; noncommutatività.
Rappresentazione di applicazioni lineari tramite matrici.


Un po' più in dettaglio:

Vettori riga, vettori colonna, vettori.
Spazi vettoriali R^(1xn), R^(nx1), R^n dei vettori riga ad n componenti, vettori colonna ad n componenti, ennuple ordinate.
Trasposizione fra R^(1xn) ed R^(nx1), identificazione fra R^(nx1) ed R^n.

Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna; relazione col prodotto scalare di due vettori colonna; proprietà.

Insieme R^(mxn) delle matrici di tipo mxn; notazione per elementi, righe e colonne di una matrice.
Prodotto di una matrice A di tipo mxn per una matrice B di tipo nxp come matrice AB di tipo mxp data
dai prodotti delle m righe di A per le p colonne di B.

Matrici unità I_n (n=1,2,...). Associatività del prodotto di matrici; non commutatività.

Per ciascuna matrice A di tipo mxn, applicazione
   R^n -> R^m, x -> Ax
(x in R^n=R^(nx1) e quindi Ax in R^(mx1)=R^m); linearità.

Teorema. Per un'applicazione f: R^n -> R^m sono equivalenti:
- f è lineare
- f è del tipo
  f|x_1|= |a_{11} ... a_{1n}| |x_1|
   |:  |  |:                | |:  |
   |x_n|  |:                | |x_n|
          |a_{m1} ... a_{mn}|
in breve
  f(x)=Ax
dove A è una matrice costante di tipo mxn.

Osservazione. Le immagini f(e_1), ..., f(e_n) dei vettori e_1, ..., e_n della base canonica di R^n sono le colonne di A.