Lezione del 25.10
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Argomenti svolti, in sintesi:

Rappresentazione di applicazioni lineari tramite matrici (ripresa).
Descrizione di una rotazione nello spazio.
Composizione di applicazioni lineari.
Rappresentazione della composizione di applicazioni lineari tramite prodotto di matrici.
Descrizione della composizione di due rotazioni nello spazio.
Applicazioni lineari biiettive.
Caratterizzazione delle applicazioni lineari biiettive R^n -> R^n.


Un po' più in dettaglio:

Identificazioni degli spazi vettoriali V^n_O con gli spazi vettoriali R^n e corrispondenti
identificazioni di applicazioni lineari V^n_O -> V^n_O con applicazioni lineari R^n -> R^n (n=1,2,3).

Teorema (ripresa).
Un'applicazione L: R^n -> R^m è lineare se e solo se è del tipo
   L(x)= A x   con A matrice costante di tipo mxn;
A è la matrice che ha per colonne le immagini tramite L dei vettori della base canonica di R^n.

Esempio.
In V^3_O, fissata una base ortonormale destrorsa i,j,k, identificato V^3_O con R^3
e quindi identificata la base i,j,k di V^3_O con la base canonica e_1,e_2,e_3 di R^3.
Considerata l'applicazione lineare R_3: R^3 -> R^3 data da
   R_3= rotazione attorno all'asse di e_3 di 45° nel verso da e_1 ad e_2.
Determinazione dell'immagine dei vettori e_1,e_2,e_3; scrittura della matrice 3x3 associata a R_3;
scrittura dell'immagine del generico vettore di R^3.

Nozioni elementari sulle funzioni fra insiemi (richiami).
Per due funzioni f: A -> B e g: B -> C, loro funzione composta gf: A -> C data da (gf)(x)=g(f(x)) per ogni x in A.
Funzioni identità. Associatività dell'operazione di composizione; noncommutatività.

Teorema.
Se due applicazioni F: R^n -> R^m e G: R^m -> R^p sono lineari allora anche l'applicazione GF: R^n -> R^p è lineare. 
Inoltre, se F(x)=Ax (x in R^n) e G(x)=Bx (x in R^m) allora (GF)(x)=(BA)x.

Esempio.
Stesso contesto dell'esempio precedente.
Considerate le applicazioni lineari
R_1= rotazione attorno all'asse di e_1 di 45° nel verso da e_2 ad e_3,
R_2= rotazione attorno all'asse di e_2 di 45° nel verso da e_3 ad e_1,
R_3= rotazione attorno all'asse di e_3 di 45° nel verso da e_1 ad e_2,
e l'applicazione lineare composta R_2R_3.
Uso del teorema precedente per scrivere la matrice associata ad R_2R_3
e dunque scrivere l'immagine tramite R_2R_3 del generico vettore di R^3.

Nozioni elementari sulle funzioni fra insiemi (richiami). Concetto di funzione biiettiva.

Osservazione. Sia L: V^2_O -> V^2_O un'applicazione lineare e sia i,j una base di V^2_O; allora
L è biiettiva se e solo se L(i) ed L(j) non sono allineati.

Proposizione. Le seguenti affermazioni su un'applicazione lineare L: R^n -> R^n sono equivalenti:
- L è biiettiva;
- L(e_1), ..., L(e_n) è una base di R^n;
- L(e_1), ..., L(e_n) sono linearmente indipendenti.