Lezione del 31.10
-----------------

Argomenti svolti, in sintesi:

Determinante di una matrice quadrata nxn.
Caso n=(1,) 2, 3: formula esplicita, proprietà rispetto alle colonne, caratterizzazione dell'indipendenza lineare, significato geometrico.
Caso generale: teorema e definizione mediante proprietà rispetto alle colonne, caratterizzazione dell'indipendenza lineare;
proprietà rispetto al prodotto di matrici.
Ulteriori significati geometrici.


Un po' più in dettaglio:

*Determinanti di matrici 1x1.

*Determinanti di matrici 2x2.

Definizione. Numero reale det(A) determinante di una matrice A 2x2 (prodotto elementi diagonale discendente meno prodotto elementi diagonale ascendente).

Identificazione di matrici 2x2 con coppie ordinate di vettori di R^2, corrispondente identificazione di R^{2x2} con R^2 x R^2.

Proposizione. Proprietà della funzione det: R^2 x R^2 -> R: bilinearità, alternanza, valore 1 sulla base canonica.

Proposizione. Due vettori di R^2 sono linearmente indipendenti se e solo se la corrispondente matrice 2x2 ha determinante diverso da 0.
Dimostrazione della parte "se" dell'enunciato.

Nozione. Fissata in V^2_O una base ortonormale, area con segno del parallelogramma su due vettori a,b di V^2_O.

Proposizione. Fissata in V^2_O una base ortonormale ed identificato V^2_O con R^2,
l'area con segno del parallelogramma di due vettori a,b di V^2_O è uguale al determinante (della matrice 2x2) di a,b. 


*Determinanti di matrici 3x3.

Definizione. Numero reale det(A) determinante di una matrice A 3x3 (sviluppo rispetto alla prima colonna; regola di Sarrus).

Identificazione di matrici 3x3 con terne ordinate di vettori di R^3, corrispondente identificazione di R^{3x3} con R^3 x R^3 x R^3.

Proposizione. Proprietà della funzione det: R^3 x R^3 x R^3 -> R: trilinearità, alternanza, valore 1 sulla base canonica.

Proposizione. Tre vettori di R^3 sono linearmente indipendenti se e solo se la corrispondente matrice 3x3 ha determinante diverso da 0.

Nozione. Fissata in V^3_O una base ortonormale, volume con segno del parallelepipedo su tre vettori a,b,c di V^3_O.

Proposizione. Fissata in V^3_O una base ortonormale ed identificato V^3_O con R^3,
il volume con segno del parallelepipedo di tre vettori a,b,c di V^3_O è uguale al determinante (della matrice 3x3) di a,b,c. 


*Determinanti di matrici nxn.

Identificazione di matrici nxn con n-ple ordinate di vettori di R^n, corrispondente identificazione di R^{nxn} con R^n x ... x R^n (n copie di R^n).

Teorema e Definzione. Esiste una ed una sola funzione R^n x ... x R^n -> R (n copie di R^n) che è n-lineare e alternante e sulla base canonica di R^n vale 1;
questa funzione si dice determinante (di matrici nxn).

Teorema. n vettori di R^n sono linearmente indipendenti se e solo se la corrispondente matrice nxn ha determinante diverso da 0.

Teorema. Per ogni due matrici A, B entrambe di tipo nxn, si ha det(AB)=det(A)det(B).


*Ulteriori significati geometrici.

Proposizione. Fissata in V^2_O una base ortonormale, sia L: V^2_O->V^2_O un'applicazione lineare rappresentata da una matrice A 2x2.
Vi è proporzionalità fra le aree con segno dei parallelogrammi su due vettori di V^2_O e quelle dei parallelogrammi immagine,
e la costante di proporzionalità è det(A).

Proposizione analoga per applicazioni L: V^3_O->V^3_O e volumi con segno di parallelepipedi su tre vettori.