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lezioni del 9 e 10 ottobre
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Sintesi:

*Correzione degli esercizi 1 e 2 della settimana precedente.

*Vettori colonna. Basi ortonormali. Prodotti scalari.

Identificazione delle n-ple ordinate di numeri reali con vettori colonna nx1; prodotto scalare di due vettori nx1. Base e base ortonormale di V^3_o; l'identificazione di V^3_o con R^3 secondo una base ortonormale di V^3_o è compatibile con il prodotto scalare. Analogamente per V^2_o e V^1_o.


*E^2, V^2_o, R^2

Fattorizzazione dell'identificazione dell'insieme E^2 dei punti del piano con l'insieme R^2 delle coppie ordinate di numeri reali passando per un insieme V^2_o di vettori applicati; sistema di riferimento (ortogonale monometrico) per E^2 e sistema costituito da un punto O di E^2 ed una base i,j (ortonormale) di V^2_o.

Fattori: (1) la funzione E^2 -> V^2_o che manda ogni punto P nel vettore posizione OP; (2) la funzione V^2_o -> R^2 che manda ogni vettore geometrico nel vettore numerico delle sue coordinate rispetto a i,j. Composizione: la funzione E^2 -> R^2 che manda ogni punto P nella coppia ordinata delle coordinate di OP rispetto a i,j. Ciascuna delle due funzioni fattori è una biiezione; la seconda funzione è compatibile con le operazioni di somma di vettori e di prodotto di scalari per vettori (e con il prodotto scalare se i,j base ortonormale).

Fatto: per ogni vettore applicato PQ, l'unico vettore applicato in O equivalente a PQ è OQ-OP.


*Equazioni parametriche di rette.

Equazione parametrica in V^2_o della retta r per un punto P_0 parallela a un vettore non nullo v (un ``vettore direttore'' di r): un punto P sta su r se e solo se (OP-OP_0)=tv, cioè OP=OP_0+tv, per qualche t in R; corrispondente equazione parametrica in R^2 e corrispondente sistema di 2 equazioni parametriche

Interpretazione cinematica: la retta r è la traiettoria di un punto materiale che al tempo t=0 si trova in P_0 e si muove con velocità costante v.

Fatto. Ogni sistema di 2 equazioni parametriche, con coefficienti del parametro non entrambi nulli, individua una ed una sola retta in E^2.

Proposizione. Per due rette date da equazioni parametriche, criteri di parallelismo, coincidenza, ortogonalità.

Esercizio. Determinare il punto di intersezione di due rette date da equazioni parametriche.


*Equazioni cartesiane di rette.

Equazione cartesiana in V^2_o della retta r per un punto P_0 ortogonale ad a un vettore non nullo n (un ``vettore normale'' di r): un punto P sta su r se e solo se (OP-OP_0)prod_scalare n=0; corrispondente equazione cartesiana in R^2 e corrispondente equazione lineare in 2 incognite

Fatto. Ogni equazione lineare in due incognite, con coefficienti delle incognite non entrambi nulli, individua una ed una sola retta in E^2.

Proposizione. Per due rette date da equazioni cartesiane, criteri di parallelismo, coincidenza, ortogonalità.

Esercizio. Determinare il punto di intersezione di due rette date da equazioni cartesiane.


*Equazioni parametriche e cartesiane.

Proposizione. Per due rette date da un'equazione parametrica e da un'equazione cartesiana, criteri di parallelismo, coincidenza, ortogonalità.

Esercizio. Determinare la proiezione ortogonale di un punto su una retta.

Come ottenere da un'equazione parametrica di una retta un'equazione cartesiana della retta e viceversa.