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Lezioni del 16 e 17 ottobre
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Sintesi:


*E^3, V^3_o, R^3

Fattorizzazione dell'identificazione dell'insieme E^3 dei punti dello spazio con l'insieme R^3 delle terne ordinate di numeri reali passando per un insieme V^3_o di vettori applicati; sistema di riferimento (ortogonale monometrico) per E^3 e sistema costituito da un punto O di E^3 ed una base i,j,k (ortonormale) di V^3_o. Analoga a quella di E^2 con R^2.

Fatto: per ogni vettore applicato PQ, l'unico vettore applicato in O equivalente a PQ è OQ-OP.


*Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani.

Equazione parametrica in V^3_o della retta per un punto P_0 con un vettore direttore v: OP= OP_0 + tv; corrispondente sistema di 3 equazioni parametriche. Determinazione di una equazione parametrica della retta per due punti distinti. Equazione parametrica in V^3_o del piano per un punto P_0 con due vettori giacitura v_1 e v_2: OP= OP_0 + sv_1 + tv_2. Determinazione di una equazione parametrica del piano per tre punti non allineati.

Equazione cartesiana in V^3_o del piano per un punto P_0 con un vettore normale n: (OP-OP_0)prod_scalare n=0; corrispondente equazione lineare in 3 incognite. Sistema di equazioni cartesiane in V^3_o della retta r per un punto P_0 con due vettori normali n_1 e n_2: sistema di (OP-OP_0)prod_scalare n_1=0 e (OP-OP_0)prod_scalare n_2=0; corrispondente sistema di 2 equazioni lineari in 3 incognite.

Proiezione ortogonale di un punto su un piano.


*Equazioni cartesiane di rette in E^2 e piani in E^3 in termini di determinante.

In E^2, con un sistema di riferimento ortogonale monometrico, equazione cartesiana della retta passante per un punto P_o con un vettore direttore v, in termini di determinante (ottenuta dalla relazione di allineamento di due vettori in V^2_o in termini di determinante). In E^3, con un sistema di riferimento ortogonale monometrico, equazione cartesiana del piano passante per un punto P_o con due vettori giacitura v_1 e v_2, in termini di determinante (ottenuta dalla relazione di complanarità di tre vettori in V^3_o in termini di determinante).


*Posizioni reciproche di piani e rette in E^3.

In E^3, con un sistema di riferimento ortogonale monometrico. Caratterizzazione delle posizioni reciproche fra piani e rette, dove ciascun piano è dato da un'equazione cartesiana e ciscuna retta da un sistema di equazioni parametriche.

Posizioni reciproche piano-piano: parallelismo in senso lato (coincidenza o parallelismo in senso stretto) o incidenza in una retta. Riconoscimento in termini dei coefficienti delle equazioni dei piani. Per due piani incidenti in una retta, rappresentazione cartesiana della retta e determinazione di una sua equazione parametrica.

Posizioni reciproche retta-piano: parallelismo in senso lato (inclusione o parallelismo in senso stretto) o incidenza in un punto. Riconoscimento in termini dei coefficienti del sistema della retta e dell'equazione del piano. Per una retta ed un piano incidenti in un punto, determinazione del punto.

Posizioni reciproche retta-retta: complanarità (parallelismo in senso lato o incidenza in un punto) o l'essere sghembe; nell'utimo caso, esistenza e unicità di un piano contenente una retta e parallelo all'altra. Riconoscimento in termini dei coefficienti dei sistemi delle rette. Per due rette sghembe, determinazione dell'equazione cartesiana del piano che contiene una retta ed è parallelo all'altra.