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lezioni del 23 e 24 ottobre
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Sintesi:

*Correzione degli esercizi 1, 2 e 3 (parziale) della settimana precedente.

*Distanze nel piano.

Contesto: piano euclideo E^2 e spazi vettoriali V^2_o ed R^2, identificati tramite un sistema di riferimento ortogonale monometrico. Compatibilità dell'identificazione fra V^2_o ed R^2 con il prodotto scalare.

Lunghezza di un vettore in termini di prodotto scalare; formula in coordinate. Proprietà della lunghezza di vettori rispetto alle operazioni sui vettori, disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora. Distanza fra due punti come lunghezza di vettore: d(P,Q)=||Q-P||; formula in coordinate.

Osservazione su distanza fra punti su una retta data da un'equazione parametrica vettoriale. 

Definizione generale di distanza fra due insiemi di punti.

*Distanza punto-retta.

Proposizioni:

Dati un punto P_0 ed una retta r ed indicato con P'_0 il punto proiezione ortogonale di P_0 su r, si ha d(P_0,r)=d(P_0,P'_0).

Formula per la distanza di un punto da una retta data da una equazione cartesiana (formule sintetica e in coordinate).

*Parallelismo e distanza retta-retta.

Proposizione. Una retta r è parallela ad una retta s se e solo se tutti i punti di r hanno la stessa distanza da s; si ha d(r,s)=d(R,s), dove R è un punto qualsiasi di r.

*Distanze nello spazio.

Contesto: spazio euclideo E^3 e spazi vettoriali V^3_o ed R^3, identificati tramite un sistema di riferimento ortogonale monometrico. Compatibilità dell'identificazione fra V^3_o ed R^3 con il prodotto scalare. 

Lunghezza di un vettore in termini di prodotto scalare; formula in coordinate. Proprietà della lunghezza di vettori rispetto alle operazioni sui vettori. Distanza fra due punti come lunghezza di vettore: d(P,Q)=||Q-P||; formula in coordinate.

Osservazione su distanza fra punti su una retta data da un'equazione parametrica vettoriale. 

*Distanza punto-piano.

Proposizioni:

Dati un punto P_0 ed un piano "pi" ed indicato con P'_0 il punto proiezione ortogonale di P_0 su pi, si ha d(P_0,pi)=d(P_0,P'_0).

Formula per la distanza di un punto da un piano dato da una equazione cartesiana (formule sintetica e in coordinate).

*Parallelismo e distanza retta-piano.

Proposizione. Una retta r è parallela ad un piano "pi" se e solo se tutti i punti di r hanno la stessa distanza da pi; si ha d(r,pi)=d(R,pi), dove R è un punto qualsiasi di r.

*Distanza fra rette sghembe.

Proposizioni:

Date due rette sghembe r ed s, esiste uno ed un solo segmento RS con estremi su r ed s ortogonale ad r ed s; si ha d(r,s)= d(R,S).

Date due rette sghembe r ed s ed indicato con "pi" il piano che contiene s ed è parallelo ad r, si ha d(r,s)= d(r,pi).

Esercizio. Per le rette sghembe passanti per i punti (1,1,1) e (2,2,2) con vettori direttori rispettivi (1,-2,4) e (1,-3,9), determinare la distanza in due modi usando le proposizioni di sopra (il modo con l'uso della prima proposizione risulta più laborioso); per le rette orientate associate ai punti e vettori direttori dati, calcolare il coseno dell'angolo.