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lezioni del 30 e 31 ottobre
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Sintesi:


*Applicazioni lineari. Introduzione.

Biiezione fra due spazi vettoriali di vettori del piano applicati in due punti distinti.

Definizione di applicazione lineare fra due spazi vettoriali.


*Applicazioni lineari di V^2_o in sè e loro rappresentazione come applicazioni lineari di R^2 in sè.

Esempi di applicazioni lineari di V^2_o in sè: rotazioni attorno ad O; scaling di centro O; proiezioni ortogonali su rette per O.

Rappresentazione in coordinate di applicazioni lineari di V^2_o in sè come applicazioni lineari di R^2 in sè. Esempi: rappresentazione in coordinate e matrice 2x2 di una rotazione e di uno scaling.

Fissata una base di V^2_o, descrizione esplicita delle applicazioni lineari di V^2_o in sè, delle loro rappresentazioni in coordinate e delle rispettive matrici.


*Applicazioni lineari R^n -> R^m.

Le applicazioni lineari R -> R sono tutte e sole le applicazioni del tipo L(x)= mx con m numero reale costante.

Applicazioni lineari R^2 -> R^3, descrizione esplicita e interpretazione come applicazioni lineari V^2_o -> V^3_o.

Prop. Le applicazioni lineari R^n -> R^m sono tutte e sole le applicazioni del tipo "L(colonna di n variabili)=(colonna di m polinomi omogenei di primo grado nelle n variabili)", dove la matrice dei coefficienti dei polinomi è la matrice che ha per colonne le immagini in R^m dei vettori canonici di R^n.


*Composizione di applicazioni lineari.

Richiami: composizione di funzioni; funzioni identità come analoghi del numero 1; associatività della composizione di funzioni.

Applicazioni identità di spazi vettoriali. Matrici identità. Le composizione di applicazioni lineari dà applicazioni lineari.   


*Matrici. Prodotto di matrici.

Tipo di una matrice, notazione per elementi, righe, colonne.

Definizione di numero reale prodotto di una riga 1xn per una colonna nx1. Definizione di matrice mxp prodotto righe per colonne di una matrice mxn per una matrice nxp.

Matrici identità come analoghe del numero 1. Associatività del prodotto di matrici.


*Applicazioni lineari R^n -> R^m e matrici, composizione e prodotto.

Prop. Le applicazioni lineari da R^n ad R^m sono tutte e sole le applicazioni del tipo L(x)= Ax con A matrice mxn costante. 

Prop. Se F: R^n -> R^m e G: R^m -> R^p sono le applicazioni lineari associate alle matrici A e B allora l'applicazione G°F: R^n-> R^p è l'applicazione lineare associata alla matrice BA.