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lezioni del 6 e 7 novembre
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Sintesi:


*Esercizio.

Calcolare la composizione di due applicazioni lineari R^2 -> R^2 in due modi, usando solo la definizione e usando il prodotto di matrici.


*Matrici quadrate.

Il prodotto di matrici non è commutativo. Matrici diagonali e loro prodotti.

Osservazione: det(I_n)=1. Teorema: per ogni due matrici A, B quadrate nxn, det(AB)=det(A)det(B). 


*Applicazioni lineari R^n -> R^n biiettive e loro inverse.

Richiami. Funzione f: A -> B biiettiva fra due insiemi e sua funzione inversa f^-1: B -> A.

Fatto. Un'applicazione lineare L: R -> R, L(x)=mx, è biiettiva e se solo se m è diverso da 0. In tal caso si ha (L^-1): R -> R, (L^-1)(x)=(m^-1)x.

Esercizio. Stabilire se una data applicazione R^2 -> R^2 è invertibile e in caso affermativo scrivere l'applicazione inversa. 


*Altre operazioni sulle matrici.

Moltiplicazione di numeri reali per matrici. Matrice trasposta A^T di una matrice A.


*Determinante e inversa di una matrice nxn.

Richiamo: invertibilità e inverso di un numero reale. Definizione: invertibilità e inversa A^-1 di una matrice quadrata A.

Esempi di matrici 2x2 invertibili e non.

Complementi algebrici di una matrice quadrata.

Teorema. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se det(A) è diverso da 0. In tal caso A^-1 è data da 1/det(A) per [matrice dei complementi algebrici di A]^T; forma per n=2.

Esempi. Invertibilità e inversione di matrici 2x2 e 3x3; verifica del risultato.

Esercizio. Discutere l'invertibilità e invertire una matrice parametrica.


*Applicazioni lineari R^n -> R^n e matrici nxn; biiettività, determinante e inversione.

Teorema. Sia L: R^n -> R^n, L(x)=Mx (M matrice nxn). Le seguenti affermazioni sono equivalenti: (1) L è biiettiva; (2) per ogni b in R^n l'equazione Ma=b nella incognita a in R^n ha una ed una sola soluzione; (3) det(M) è diverso da 0; (4) esiste M^-1. In tal caso (L^-1): R^n -> R^n, (L^-1)(x)=(M^-1)x.

Esempi. Riconoscimento della biiettività e calcolo dell'inversa di applicazioni lineari R^2 -> R^2 e R^3 -> R^3.

Esercizio. Discutere biiettività e calcolare l'inversa di un'applicazione lineare parametrica R^2 -> R^2.

Esercizio. Riconoscere che un'applicazione lineare R^2 -> R^2 non è biiettiva dandone una rappresentazione grafica e individuando un vettore che non ha una ed una sola preimmagine.


*Significato geometrico del determinante.

Coppie ordinate di vettori in E^2, destrorse e sinistrorse. Significato di det[a,b] come area con segno del parallelogramma su a,b. Per ogni applicazione lineare L: R^2 -> R^2, L(x)=Mx, significato di det(M) come coefficiente di trasformazione di aree con segno.

Terne ordinate di vettori in E^3, destrorse e sinistrorse. Significato di det[a,b,c] come volume con segno del parallelepipedo su a,b,c. Per ogni applicazione lineare L: R^3 ->R^3, L(x)=Mx, significato di det(M) come coefficiente di trasformazione di volumi con segno.