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lezioni del 13 e 14 novembre
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Sintesi:

*Vettori delle coordinate di un vettore di R^2 rispetto alle basi di R^2.

Vettore delle coordinate di un vettore di R^2 rispetto ad una base di R^2. Relazioni

(vettore) = (matrice della base) per (vettore delle coordinate)

(vettore delle coordinate) = (matrice della base)^-1 per (vettore) 


*Matrici di un'applicazione lineare di R^2 in sè rispetto alle basi di R^2.

Rappresentazione in coordinate di un'applicazione lineare di R^2 in sè rispetto ad una base di R^2, matrice 2x2 dell'applicazione rispetto alla base. Relazioni

(matrice dell'applicazione) = (matrice della base) (matrice dell'applicazione rispetto alla base) (matrice della base)^-1

(matrice dell'applicazione rispetto alla base) = (matrice della base)^-1 (matrice dell'applicazione) (matrice della base)

Esempi.

Prop. Il determinante della matrice 2x2 di un'applicazione lineare di R^2 in sè rispetto a una base di R^2 non dipende dalla base.


*Applicazioni lineari di V^2_o in sè.

Richiami. Applicazione lineare di R^2 in sè e matrice 2x2 associate a un'applicazione lineare di V^2_o in sè rispetto a una base di V^2_o; significato delle colonne della matrice.

Rotazioni su V^2_o.

Definizione. Rotazione di dato angolo (qualsiasi numero reale) e verso; data prima per numeri reali compresi fra -pi greco e + pi greco e poi estesa.

Proprietà di una rotazione (dalla linearità alla conservazione di aree con segno) e del complesso delle rotazioni (rispetto alla composizione).

Definizione di seno e coseno di un angolo (qualsiasi numero reale). 

Matrice 2x2 di una rotazione rispetto a una base ortonormale destrorsa di V^2_o. Corrispiondenza fra proprietà delle rotazioni e proprietà delle matrici.

Scalings su V^2_o.

Definizione. Scaling S_(r,s;a,b) di dati coefficienti r,s rispetto a una base a,b di V^2_o.

Matrice di S_(r,s;a,b) rispetto alla base a,b. Proprietà di uno scaling rispetto alle aree ed all'orientamento.

Casi particolari. Dilatazioni, proiezioni su una retta secondo una direzione, riflessioni su una retta secondo una direzione.

Risoluzione di un'equazione fra applicazioni lineari tramite riconduzione ad un'equazione fra matrici 2x2.


*Applicazioni lineari di V^3_o in sè.

Richiami. Applicazione lineare di R^3 in sè e matrice 3x3 associate a un'applicazione lineare di V^3_o in sè rispetto a una base di V^3_o; significato delle colonne della matrice.

Rotazioni su V^3_o.

Definizione. Rotazione di dato angolo (qualsiasi numero reale) e verso attorno a un asse (vettore non nullo).

Per una base ortonormale destrorsa i,j,k di V^3_o, matrici 3x3 delle rotazioni attorno a i,j,k.