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lezioni del 20 e 21 novembre
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Sintesi:

*Applicazioni lineari affini del piano E^2 in sè.

Quadro generale. Applicazioni di E^2 in sè, rappresentazione rispetto a un punto O come applicazioni di V^2_o in sè, rappresentazione rispetto a una base i,j di V^2_o come applicazioni di R^2 in sè.

Richiami. Se L: V^2_o -> V^2_o, v -> v' è lineare, allora ogni sua rappresentazione L: R^2 -> R^2, x -> x' è lineare ed è del tipo x'=Ax, (A matrice 2x2); significato geometrico di det(A).

Qualche esempio di applicazioni di E^2 in sè: proiezione ortogonale su una retta r, riflessione ortogonale rispetto a r; linearità o meno delle loro rappresentazioni come applicazioni di V^2_o in sè. Traslazioni di E^2 in sè e loro rappresentazioni come applicazioni di V^2_o in sè e di R^2 in sè. 

Esercizio. Identificati E^2 e V^2_o con R^2, determinazione delle applicazioni proiezione ortogonale e riflessione ortogonale sulla retta di equazione x-2y+2=0.

Definizione. Un'applicazione di E^2 in sè si dice ''lineare affine'' se ha una rappresentazione come applicazione di V^2_o in sè data dalla composizione di una traslazione dopo un'applicazione lineare. Commento: unicità della traslazione e dell'applicazione lineare.

Rappresentazione di un'applicazione lineare affine di E^2 in sè come applicazione di R^2 in sè x -> x' data da x'=Ax+b (A matrice 2x2 e b vettore 2x1); significato geometrico di det(A).

Il discorso è stato sviluppato sostanzialmente in parallelo nello spazio come segue.


*Applicazioni lineari affini dello spazio E^3 in sè.

Quadro generale. Applicazioni d E^3 in sè, loro rappresentazioni come applicazioni di V^3_o in sè, loro rappresentazioni come applicazioni di R^3 in sè.

Richiami. Se L: V^3_o -> V^3_o è lineare, allora ogni sua rappresentazione L: R^3 -> R^3 è lineare ed è del tipo x'=Ax, (A matrice 3x3); significato geometrico di det(A).

Qualche esempio di applicazioni di E^3 in sè: riflessione rispetto a un punto, riflessione ortogonale rispetto a una retta; linearità o meno delle loro rappresentazioni come applicazioni di V^3_o in sè. Traslazioni di E^3 in sè e loro rappresentazioni come applicazioni di V^3_o in sè e di R^3 in sè. 

Esercizio. Identificati E^3 e V^3_o con R^3, determinazione delle applicazioni riflessione rispetto a un punto e riflessione ortogonale rispetto alla retta di equazioni parametriche x=(1/2)+t, y=(1/2)-t, z=0.

Definizione. Un'applicazione di E^3 in sè si dice ''lineare affine'' se ha una rappresentazione come applicazione di V^3_o in sè data dalla composizione di una traslazione dopo un'applicazione lineare. Commento: unicità della traslazione e dell'applicazione lineare.

Rappresentazione di un'applicazione lineare affine di E^3 in sè come applicazione di R^3 in sè x -> x' data da x'=Ax+b (A matrice 3x3 e b vettore 3x1); significato geometrico di det(A).