-------------------------- lezioni del 4 e 5 dicembre -------------------------- Sintesi: *Definizione di derivata di una funzione in un punto, ripresa. Pendenza di un segmento, pendenza di una retta, e un particolare vettore direttore della retta. Equazione cartesiana della retta per un dato punto avente una data pendenza. Per una funzione f:I->J, insieme grafico di f contenuto in IxJ e moto nell'intervallo di tempo I di un punto sull'intervallo J. Per una funzione f:I->R (I non ridotto a un punto) ed un punto x_0 in I, definizione di derivata f'(x_0) e di retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). Pendenza di un segmento e velocità media, derivata e velocità istantanea. Esempio di una funzione non derivabile in un punto: funzione valore assoluto in x_0=0. *Funzioni polinomiali, derivazione di funzioni somma e di funzioni prodotto di numeri reali per funzioni. Derivabilità di una funzione f:I->R, funzione derivata f':I->R. Altra notazione per funzioni e funzioni derivate: f(x) (x in I) e D(f(x)) (x in I). Prop: per ogni n=0,1,2,... la funzione potenza x^n (x in R) è derivabile e la funzione derivata è D(x^n)=nx^(n-1) (x in R). Operazioni sulle funzioni: per funzioni f,g:I->R e numeri reali r, funzioni (f+g):I->R e (rf):I->R (spazio vettoriale di funzioni). Prop: per ogni f,g funzioni derivabili ed r numero reale, anche le funzioni f+g e rf sono derivabili, inoltre (f+g)'=f'+g' e (rf)'=rf' (linearità). Applicazione: ogni funzione polinomiale è derivabile, con derivata funzione polinomiale; abbasamento del grado. Funzione strettamente crescente, funzione strettamente decrescente, punti di minimo relativo e massimo relativo per una funzione. Th: per una funzione derivabile f:I->R si ha: (1) se f'(x)>0 per ogni x in I allora f è strettamente crescente; (1') se f'(x)<0 ... f è strettamente descrescente; (2) se un punto x_0 di I (non estremo) è punto di minimo relativo o massimo relativo per f, allora f'(x_0)=0. Es: studio del grafico della funzione 4x^3-18x^2+24x-9 (x in R) *Funzioni razionali, derivazione di funzioni prodotto e di funzioni quoziente. Funzione x^(-1) (x diverso da 0) e suo grafico; è derivable con funzione derivata D(x^-1)= -x^(-2) (x diverso da 0). Prop: per ogni n=-1,-2,... la funzione potenza x^n (x diverso da 0) è derivabile e la funzione derivata è D(x^n)=nx^(n-1) (x diverso da 0). Funzione razionale come funzione rappresentabile nella forma p(x)/q(x) (x tale che q(x) diverso da zero) con p polinomio e q polinomio non nullo. Operazioni sulle funzioni: per funzioni f,g:I->R, funzioni (fg):I->R e, sotto condizione su g, (f/g):I->R. Prop: per ogni f,g funzioni derivabili, anche le funzioni (fg) e (f/g) (quando esiste) sono derivabili, inoltre (fg)'=f'g+fg' e (f/g)'=(f'g-fg')/(g^2). Applicazione: ogni funzione razionale è derivabile, con derivata funzione razionale, avente lo stesso dominio. Es: studio del grafico della funzione (x-3)/(x^2-5) (x diverso da +radice_di_5 e da -radice_di_5). *Funzioni esponenziali. Funzione 2^x (x in R) esponenziale di base 2, suo grafico. Per ogni numero reale b>0, funzione b^x (x in R) esponenziale di base b. Th: Ogni funzione esponenziale è derivabile. La funzione e^x (x in R) esponenziale di base il numero "e" di Nepero ha la proprietà che D(e^x)=e^x, ed è l'unica funzione f(x) tale che f'(x)=f(x) e f(0)=1. *Derivazione di funzioni composte. Notazioni per funzioni e funzioni derivata: f(x) (x in I) e d/dx f(x) (x in I) Prop: se f:I->J e g:J->K sono derivabili allora anche la funzione composto (g°f):I->K è derivabile, e d/dx (g°f)(x)= ((d/dy g(y))_(y sostituito da f(x)))_per_(d/dx f(x)). Es: calcolo della derivata di (2x+3)^7 e di e^(-x^2). In generale: (1) se f(x) (x in I) è derivabile, allora per ogni n=0,1,2,... anche [f(x)]^n (x in I) è derivabile e D([f(x)]^n)= (n[f(x)]^(n-1))_per_D(f(x)); (2) se f(x) (x in I) è derivabile, allora anche e^[f(x)] (x in I) è derivabile e D(e^[f(x)])= (e^[f(x)])_per_D(f(x)). Es: studio del grafico della funzione xe^x (x in R).