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lezioni del 0925 e 0926
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Estrema sintesi:
Lunghezza, angoli, coseno di un angolo. Prodotto scalare e sue proprietà. Lunghezze ed angoli in termini di prodotto scalare.

Spazio vettoriale numerico R^2. Identificazione di V^2_o con R^2. Un problema su combinazioni lineari in R^2, suo significato in V^2_o, equivalenza con un sistema di due equazioni lineari.

Spazio vettoriale numerico R^3. Identificazione di V^3_o con R^3.Un problema di complanarità in V^3_o, sua traduzione in R^3, equivalenza con un sistema di tre equazioni lineari.

Per ciascun intero positivo n, spazio vettoriale numerico n-dimensionale R^n.

Sistema di due equazioni lineari in due incognite e determinanti 2x2, introduzione.


Sintesi: 

Lunghezza di vettori. Angoli, misura in radianti, coseno di un angolo. Operazione di prodotto scalare di vettori e sue proprietà. Lunghezze ed angoli in termini di prodotti scalari. Prodotto scalare in coordinate rispetto a versori ortogonali.

Insieme R^2 delle coppie ordinate di numeri reali. Somma di coppie ordinate; prodotto di numeri reali per coppie ordinate. Spazio vettoriale numerico R^2. Vettori canonici. Problema 1. Risolvere se possbile un'equazione xa+yb=c nelle incognite x,y in R, con a,b,c in R^2; equivalenza con un sistema lineare di due equazioni nelle incognite x,y.

Funzione V^2_o -> R^2 che associa a ciascun vettore le sue coordinate rispetto a due vettori i,j non allineati fissati in V^2_o. Biiettività, compatibilità con le operazioni di spazio vettoriale. Identificazione di V^2_0 con R^2. Traduzione geometrica del problema 1.

Insieme R^3 delle terne ordinate di numeri reali. Somma di terne ordinate; prodotto di numeri reali per terne ordinate.  Spazio vettoriale numerico R^3. Vettori canonici.

Funzione V^3_o -> R^3 che associa a ciascun vettore le sue coordinate rispetto a tre vettori i,j,k non complanari fissati in V^3_o. Biiettività, compatibilità con le operazioni di spazio vettoriale. Identificazione di V^3_0 con R^3. Problema 2. Identificato V^3_o con R^3, stabilire se un dato vettore sta sul piano di due dati vettori; equivalenza con un'equazione xa + yb =c nelle incognite x,y in R, con a,b,c in R^3; equivalenza con un sitema di 3 equazioni lineari in x,y.

Per ciascun intero positivo n, spazio vettoriale numerico R^n. Enunciato: R^n ha dimensione n. Casi n=1,2,3; caso generale, significato in termini di sistemi di equazioni lineari (cenni).

Sistemi di due equazioni lineari in due incognite. Problema: sotto quali condizioni si ha una ed una sola soluzione? C'è una formula? Scrittura del sistema in termini di combinazioni lineari in R^2, interpretazione geometrica in V^2_o. Matrice 2x2 associata ai coefficienti e matrice 2x3 associata al sistema. Determinante di una matrice 2x2; significato geometrico.