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lezione del 1002
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Sintesi:

Coppie ordinate di numeri reali, vettori riga, vettori colonna, e relativi spazi vettoriali. Matrici 2x2 di numeri reali, identificazione con righe [a,b] di vettori colonna a,b 2x1.

Rappresentazione di un sistema di 2 equazioni lineari in 2 incognite reali x,y come un'equazione ax + by = c (a,b,c 2x1).

Definizione di determinante di una matrice 2x2. Significato geometrico come area con segno.

Proprietà del determinante di matrici 2x2 rispetto alle colonne: bilinearità, alternanza, valore sulla coppia dei vettori canonici.

Proposizione: due vettori a,b 2x1 sono allineati se e solo se det[a,b]=0.

Proposizione: un sistema di 2 equazioni lineari in 2 incognite ax + by = c (a,b,c 2x1) ha una ed una sola soluzione se e solo se det[a, b] è diverso da 0; formula per la soluzione.


Terne ordinate di numeri reali, vettori riga, vettori colonna, e relativi spazi vettoriali. Matrici 3x3 di numeri reali come righe [a,b,c] di 3 vettori a,b,c 3x1.

Rappresentazione di un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite reali x,y,z come un'equazione ax + by + cz = d (a,b,c,d 3x1).

Definizioni equivalenti di determinante di una matrice 3x3 rispetto a ciascuna delle 3 colonne. Significato geometrico come volume con segno.

Proprietà del determinante di matrici 3x3 rispetto alle colonne: trilinearità, alternanza, valore sulla terna dei vettori canonici.

Proposizione: tre vettori a,b,c 3x1 sono complanari se e solo se det[a,b,c]=0.

Proposizione: un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite ax + by + cz = d (a,b,c,d 3x1) ha una ed una sola soluzione se e solo se det[a,b,c] è diverso da 0; formula per la soluzione.


n-ple ordinate di numeri reali, vettori riga, vettori colonna, e relativi spazi vettoriali. Matrici nxn come righe di n vettori nx1.

Teorema/Definizione. Esiste una ed una sola funzione "determinante" di n variabili nx1 con le proprietà di n-linearità e alternanza e che vale 1 sulla n-pla dei vettori canonici.

Teorema: n vettori a_1, a_2, ..., a_n nx1 sono linearmente indipendenti se e solo se det[a_1,a_2,...,a_n] è diveso da 0.