Presentazione del corso; 26.02

Si considerano le rappresentazioni ordinarie di un'algebra di Lie, cioè su spazi vettoriali di dimensione finita sul campo complesso. 

Algebra di Lie generale lineare gl(V) degli endomorfismi di uno spazio vettoriale V con bracket di Lie data dall'ordinario commutatore $[f,g]= fg - gf$ per ogni f,g endomrfismi di V. Algebra di Lie gl(n) delle matrici nxn; lo spazio vettoriale gl(n) ha la base canonica delle matrici elementari $e_{ij}$ (utile pensare queste matrici come prodotti di vettori colonna per vettori riga canonici); fatto: $[e_{ij},e_{hk}]= d_{jh}e_{ik} - d_{ki}e_{jh}$ (d_{::} delta di Kronecker); l'algebra di Lie gl(n) ha un sistema di generatori dato dalle matrici e_{ii}, e_{i,i+1}, e_{i+1,i} (generatori di Chevalley).

Sia L=(L,[]) un'algebra di Lie e V uno spazio vettoriale. Definizione di L-modulo come su V con un'azione di $L x V -> V$ bilineare tale che $[x,y]v = x(yv) - y(xv)$ per ogni x,y in L e v in V. Definizione di rappresentazione di L su V come un morfismo di Lie $L -> gl(V);$ per ciascuna base di V, rappresentazione matriciale associata $L -> gl(n).$ Relazione fra moduli e rappresentazioni.

Definzione di isomorfismo di L-moduli (equivalenza di rappresentazioni) e di L-modulo semplice (rappresentazione irriducibile).

Per una data algebra di Lie L. Problemi: (1) costruire una famiglia di rappresentanti per le classi d'isomorfismo degli L-moduli semplici; (2) dare una costruzione di una base per ciscun L-modulo V di tale famiglia, ed una formula esplicita per la corrispondente rappresentazione matriciale $L -> gl(f)$ (f è la dimensione di V).

Considereremo il caso dell'algebra di Lie $gl(n).$ Il primo problema è stato risolto da I. Schur nel 1901 nella sua tesi di dottorato. Il secondo problema da I.M. Gelfand e M.L. Tsetlin nel 1950 in un articolo di tre pagine senza dimostrazione. La formula di Gelfand-Tsetlin ha poi ricevuto varie dimostrazioni e soprattutto generalizzazioni.

Scopo di questa parte del corso è descrivere un approccio diretto per ricavare la formula di Gelfand-Tsetlin. E' basato sulla teoria dei bitableaux introdotta negli anni '70 da G.C. Rota in teoria degli invarianti e sui suoi sviluppi superalgebrici degli anni '80, specialmente quelli in teoria delle rappresentazioni di A. Brini e A. Teolis.

Un primo riferimento di inquadramento (solo da sfogliare per avere un'idea):

H.Barcelo, A.Ram, Combinatorial representation theory
http://library.msri.org/books/Book38/files/barcelo.pdf