Laboratorio del 02.10.03 -Commenti agli esercizi
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Esercizio 1
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Posto

X=[x1; x2], Y=[y1; y2; y3], Z=[z1; z2; z3; z4],

A=[1 -2 2; 1 2 -2], B=[4 3 2 1; 1 1 1 1; 1 2 3 4]

si ha

X=A*Y, Y=B*Z.

Dunque 

X=A*B*Z.

Con Octave si puo' calcolare la matrice C=A*B; da questa matrice si ricava infine
la legge che descrive x1 e x2 in funzione di z1, z2, z3 e z4.

Esercizio 2
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La matrice dei coefficienti del sistema, la colonna dei termini noti e
la matrice completa del sistema sono, rispettivamente

A=[1 -4; -4 3; 3 1], b=[1; 1; 1] e C=[A b].

Con Octave, usando il comando 'rref', si puo' calcolare la
forma a scala ridotta per righe della matrice C.
Da questa forma si puo' dedurre se il sistema possiede soluzioni e,
in caso affermativo, determinarle.

Esercizio 3
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L'inversa della matrice

A=[1 -2 3; -3 7 -9; 1 -3 4],

se esiste, si puo' determinare costruendo la matrice

P=[A eye(3)],

ottenuta affiancando a destra di A la matrice unita' di ordine 3 ed impartendo l'istruzione

Q=rref(P)

Nella matrice Q compare a sinistra le matrice unita' di ordine 3,
dunque A e' invertibile e a fianco di tale matrice unita' compare in Q l'inversa di A.

N.B.: Per isolare le ultime tre colonne di Q si puo' usare l'istruzione 

Ai=Q(:,4:6)

In questo modo abbiamo assegnato alla variabile 'Ai' il valore trovato per la matrice inversa di A.

Si consiglia di impartire l'istruzione 'format long' per visualizzare con 16 cifre significative
gli elementi della matrice Ai e di calcolare A*Ai-eye(3); non si otterra' la matrice nulla;
Ai e' una approssimazione, vicina alla precisione macchina, dell'inversa di A.

Il calcolo dell'inversa di A si puo' effettuare direttamente impartendo l'istruzione inv(A) oppure A^-1.

La soluzione dell'equazione A*X=B si puo' ottenere calcolando A^-1*B.

La soluzione dell'equazione X*A=B si puo' ottenere calcolando B*A^-1.


Esercizio 4
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Si possono impartire le istruzioni

A=[1 -2 1 7; -2 4 1 -2; 3 -6 -2 1], b=[11; -4; 3], C=[A b]

per introdurre la matrice A dei coefficienti, la colonna b dei termini noti e la matrice completa C del sistema.
Poi si puo' impartire il comando

Q=rref(C)

Si otterra' la matrice 

Q=[1 -2 0 3 5; 0 0 1 4 6; 0 0 0 0 0] 

forma a scala ridotta della matrice C.

Cio' significa che il sistema dato ha le stesse soluzioni del sistema

 x-2y   +3t=5
       z+4t=6

che si puo' risolvere rispetto alle incognte pivot x e z ottenendo

x=2y-3t+5
z=  -4t+6

Dunque la soluzione generale e'

x=2a-3b+5
y= a
z=  -4b+6
t=    b

dove a e b variano liberamente fra i numeri reali.
Posto

X=[x; y; z; t], u1=[2; 1; 0; 0], u2=[-3; 0; -4; 1], v=[5; 0; 6; 0],

la soluzione generale si puo' scrivere come

X= a*u1 + b*u2 + v,    dove a e b variano liberamente fra i numeri reali.

In particolare, assegnando alla coppia di parametri (a,b) i valori (0,0), (1,0) e (0,1) si ha che

v, u1+v, u2+v

sono soluzioni. Si possono allora svolgere le relative verifiche calcolando

A*v-b, A*(u1+v)-b, A*(u2+v)-b.


Esercizio 5
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Si possono impartire le istruzioni

A=[1 2 3 1 1; 1 2 3 2 3; 1 1 1 1 1; -3 -5 -7 -4 -5], P=rref(A)

Si otterra' la matrice 

P=[1 0 -1 0 -1; 0 1 2 0 0; 0 0 0 1 2; 0 0 0 0 0]

La prima, seconda e quarta colonna di P (quelle in cui compaiono i pivot)

P(:,1), P(:,2), P(:,4) 

sono una base per l'insieme delle colonne di P. 
Si ha che

la terza colonna di P ha coordinate (-1, 2, 0),
la quarta colonna di P ha coordinate (0, 0, 1),
la quinta colonna di P ha coordinate (-1, 0, 2),

rispetto alla base P(:,1), P(:,2), P(:,4).

Poiche' le relazioni lineari fra le colonne di P sono le stesse di quelle di A, si ha che 
la prima, seconda e quarta colonna di A 

A(:,1), A(:,2), A(:,4)

sono una base per l'insieme delle colonne di A. 
Inoltre si ha che

la terza colonna di A ha coordinate (-1, 2, 0),
la quarta colonna di A ha coordinate (0, 0, 1),
la quinta colonna di A ha coordinate (-1, 0, 2).

rispetto alla base A(:,1), A(:,2), A(:,4).

Queste ultime affermazioni significano che

A(:,3) = -1*A(:,1) +2*A(:,2) +0*A(:,4),
A(:,4) =  0*A(:,1) +0*A(:,2) +1*A(:,4), ... ovvio
A(:,5) = -1*A(:,1) +0*A(:,2) +2*A(:,4),

e si possono verificare svolgendo i calcoli.