Laboratorio di Matematica 16.10.2003
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Sia 

A X = B 

un sistema di equazioni lineari, con A matrice di tipo m per n e B vettore colonna di lunghezza m;
risulta conveniente guardare il sistema anche nella forma 

A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn = B, 

dove A1, A2, ... , An sono le colonne di A. 


Si ricorda che:

A t-B = errore che si commette assumendo t come soluzione del sistema;

s e' una soluzione ai minimi quadrati del sistema <=> ||A s - B||<=||A t - B|| per ogni t.

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TH. Le soluzioni ai minimi quadrati del sistema di m equazioni in n incognite

A X = B 

sono tutte e sole le soluzioni esatte del sistema di n equazioni in n incognite 

A' A X = A' B,

detto sistema delle equazioni "normali" associate al sistema dato.
Nel caso in cui A abbia rango n, la matrice (A' A) risulta invertibile e si trova

X = (A' A)^-1 A' B.
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Si osservi che A' A e' la tabella dei prodotti scalari fra le varie colonne di A, mentre
A' B e' la lista dei prodotti scalari fra le varie colonne di A e la colonna B; 
nel caso in cui A si riduca ad una sola colonna non nulla, si ha

X = coefficiente di Fourier di B rispetto ad A.


Il TH si puo' ricondurre essenzialmente al fatto che le soluzioni ai minimi quadrati del sistema A X = B
vanno ricercate fra i vettori s di lunghezza n tali che il corrispondente errore A s - B sia ortogonale
ad ogni colonna di A.

Si usa inoltre il fatto, non banale, che per ogni matrice M, il rango di M' M e' uguale al rango di M.
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PROBLEMA. Supponiamo di avere delle misurazioni dell'umidita' (u) in diversi giorni (g) di un mese:

u1 = 30 in g1 = 1
u2 = 45 in g2 = 2
u3 = 53 in g3 = 13
u4 = 66 in g4 = 15.

Determinare la retta di migliore approssimazione di questo set di dati.
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COMANDI UTILI:

dot
norm
orth
null
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PROBLEMA. Si considerino le colonne A1, A2, A3, A4 della matrice A=[ 1 0 2 1; 0 1 1 2; 1 1 3 3],
che in realta' stanno sul piano di equazione x+y-z=0. Rappresentare A1, A2, A3, A4 nel piano
in modo che siano conservate lunghezze ed angoli.
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SUL MANUALE IN LINEA LEGGERE IL PRIMO PUNTO DEL NODO

Plotting ... Two-Dimensional Plotting
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VISUALIZZARE LE SOLUZIONI DEI PROBLEMI PRECEDENTI.
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PROBLEMA. Supponiamo di avere delle misurazioni dell'umidita' (u) in diversi giorni (g) di un mese:

u1 = 30 in g1 = 1
u2 = 45 in g2 = 2
u3 = 53 in g3 = 13
u4 = 66 in g4 = 15
u5 = 52 in g5 = 17
u6 = 26 in g6 = 21
u7 = 34 in g7 = 24
u8 = 15 in g8 = 25
u9 = 19 in g9 = 27
u10 = 25 in g10 = 29
u11 = 18 in g11 = 30.

Determinare la retta di migliore approssimazione di questo set di dati.