Luca Migliorini

In una lettera scritta nel 1940 dal carcere di Bonne-Nouvelle, André Weil spiega a sua sorella Simone la portata euristica di una analogia profonda tra i risultati della teoria algebrica dei numeri e la teoria delle funzioni su una superficie di Riemann, con l'intermediario (la Stele di Rosetta ha tre testi!) dei campi di funzioni su un campo finito. Daro' alcuni esempi semplici di questa corrispondenza, tuttora al centro della geometria algebrica nelle sue interazioni con la teoria dei numeri, indicando alcune parti "non ancora decifrate". La lettera si trova nelle opere scelte di Weil, vol.I pp. 244-255. Una traduzione inglese, scaricabile dalla rete, e' apparsa nelle Notices of the AMS, vol. 52 numero 3, pp.334-341 (Marzo 2005).

Massimo Ferri

Da una curva alla sua equazione, da una trasformazione lineare alla sua matrice, da una varietà a una sua triangolazione, da un gruppo a una sua presentazione (ecc.) sono molte le situazioni - almeno in algebra, geometria e topologia - in cui un oggetto viene in realtà studiato attraverso sue rappresentazioni, più facili da trattare che non l'oggetto stesso. Il problema dell'equivalenza di oggetti si traduce allora nel problema dell'equivalenza di rappresentazioni; questo viene spesso affrontato mediante invarianti e, se si è fortunati, mediante forme normali.

Giovanna Citti

In questo seminario presentiamo il ruolo della soluzione fondamentale come strumento principe per lo studio di soluzioni di equazioni differenziali del secondo ordine. Infatti la soluzione fondamentale fornisce una formula di rappresentazione esplicita delle soluzioni, che può essere manipolata direttamente, in particolare per lo studio della regolarità e delle proprietà geometriche delle soluzioni. Iniziamo dal caso ben noto del laplaciano, e proviamo con metodi di approssimazione, che le proprietà di regolarità si estendono anche ad operaratori a coefficienti variabili. I coefficienti dell'opearatore codificano invece proprietà geometriche, che sono ereditate dagli insiemi di livello della soluzione fondamentale. Nel caso di operatori uniformemente ellittici queste proprietà sono codificate in modo algebrico, e danno luogo a metriche riemanniane. Anchenel caso di operatori di tipo Hormander le proprietà metriche, codificate in modo differenziale nei coefficienti, permettono di descrivere gli insiemi di livello della soluzione fondamentale.

Rita Fioresi

Alcuni recenti sviluppi in fisica hanno reso necessario estendere la nozione di spazio e dei concetti geometrici fondamentali quali varieta' algebriche e differenziabili, per poter introdurre coordinate non commutative. Lo studio dei gruppi in questo nuovo ambito permette di costruire nuove simmetrie che si sono rivelate fondamentali nelle applicazioni fisiche (supersimmetria e teoria della stringa).

Davide Guidetti

Partendo da alcuni casi molto semplici, cercherò di mostrare come molti problemi misti per equazioni paraboliche possono essere trattati efficientemente come problemi di equazioni differenziali ordinarie in spazi funzionali. In quest’ordine di idee, darò qualche idea sui semi-gruppi analitici e sulla regolarità massimale.

Sandro Graffi

La teoria KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) costituisce un esempio molto raro nella storia della scienza in cui la matematica in senso stretto e' assolutamente necessaria per comprendere un problema fisico di importanza fondamentale. Se ne passeranno in rassegna le linee essenziali.

Giampaolo Cristadoro

Determinare le condizioni per cui una dinamica completamente deterministica generi comportamenti stocastici è un programma classico della fisica matematica. Mostrerò qualche esempio di sistema dinamico in cui sia possibile ricavare alcuni teoremi limite, in particolare CLT e leggi stabili. Infine descriverò brevemente gli esperimenti, in corso al LENS di Firenze, sui "Lèvy Glasses": materiali in cui la luce ha proprietà di trasporto anomale.

Ermanno Lanconelli

Nella teoria geometrica delle funzioni di piu' variabili complesse, cosi' come nella teoria cinetica dei gas, nella finanza matematica, nella visione artificiale, e nella descrizione della corteccia visiva, compaiono equazioni differenziali estremamente anisotrope, non direttamente trattabili coi metodi classici basati sulla geometria euclidea o riemanniana. Da un punto di vista classico, tali equazioni appaiono solo di tipo degenere, mentre invece possiedono sottostanti strutture geometriche estremamente ricche, principalmente riconducibili ai gruppi di Lie o agli spazi metrici di tipo Carnot- Caratheodory. Nel seminario verranno presentati alcuni dei modelli piu' significativi delle suddette equazioni, ed alcune idee e linee di sviluppo della geoemtria sub-riemanniana che ne consentono la trattazione.

Bruno Franchi

I gruppi di Carnot sono particolari gruppi di Lie che possono essere dotati di una struttura metrica tramite la distanza di Carnot-Carathéodory. Nel seminario precedente si è visto come questi gruppi siano l'ambiente naturale per lo studio di importanti equazioni differenziali. Ora vogliamo studiare alcuni aspetti puramente geometrici di questi gruppi che sono, per certi aspetti, generalizzazioni naturali dello spazio euclideo. Vale la pena di confrontare i gruppi di Carnot con le varietà riemanniane,che sono un'altra generalizzazione naturale dello spazio euclideo. Infatti che le varietà riemanniane sono oggetti ``euclidei in piccolo'' ma in generale non invarianti per traslazioni e dilatazione (sono spazi euclidei ``deformati''), mentre i gruppi di Carnot non sono euclidei a nessuna scala, ma sono forniti di dilatazioni e traslazioni (hanno la ``rigidità'' degli spazi euclidei). Presenteremo alcuni aspetti di questa teoria geometrica, considerando il problema degli insiemi di perimetro finito, quello delle sottovarietà ``naturali'' e quello delle forme differenziali intrinseche.

Giovanni Dore

L'equazione lineare a coefficienti costanti y'(x) = ay(x) ha come soluzione la funzione esponenziale exp(ax). Analogamente si può definire l'esponenziale di una matrice quadrata A a partire dalle soluzioni del sistema di equazioni differenziali y'(x) = Ay(x); tale esponenziale può essere costruito sia mediante una serie che con un integrale complesso. Questa impostazione può essere ripetuta nel caso delle equazioni differenziali astratte, quando A è un operatore limitato in uno spazio di Banach. Equazioni differenziali astratte sono traduzione naturale di equazioni alle derivate parziali di evoluzione, ma in tal caso l'operatore A non è limitato. Risulta quindi utile estendere il concetto di esponenziale a questo ambito; si ottiene così la teoria dei semigruppi di operatori.

Stefano Francaviglia

Partendo da una nozione naif di curvatura per superfici si analizzeranno alcuni aspetti di metriche Riemanniane a curvatura negativa. Si daranno poi un paio di nozioni di "curvatura negativa" per spazi metrici. Ci si soffermera' infine su aspetti asintotici di spazi a curvatura negativa e legami con alcuni problemi algebrici e logici.

André Martinez

Passeremo in rivista alcuni strumenti matematici usati per definire e per individuare le risonanze quantistiche: distorsione analitica; calcolo pseudodifferenziale; geometria simplettica... Inoltre, illustreremo l'argomento con la descrizione di vari risultati ottenuti recentemente da diversi autori.

Andrea Brini

Si presenteranno alcuni metodi, di carattere essenzialmente combinatorio, per la costruzione di moduli irriducibili su algebre di Lie generali lineari gl(n, C), e di basi lineari per detti moduli. Il seminario sara’ strutturato come segue: • Moduli di Schur (rappresentazioni covarianti), partizioni (diagrammi di Ferrer), tabelle di Young, algoritmo di Straightening. • Branching Theorem. • Diagrammi di Gelfand-Zeitlin e basi di Gelfand-Zeitlin.

Fiorella Sgallari

I problemi inversi sono un argomento di grande importanza nell'elaborazione di segnali ed immagini e, più in generale, nella teoria dell'informazione. Per questo motivo essi sono rilevanti in numerosi domini delle scienze applicate, come l'imaging medico, la microscopia, l'astronomia, la sismologia, l'indagine non-distruttiva di materiali, ecc.. La caratteristica principale di questi problemi è che essi sono mal posti nel senso di Hadamard. Inoltre, tutte le applicazioni più importanti sono nel caso di problemi con una gran quantità di dati, ragion per cui il tema centrale è la risoluzione di problemi, lineari e non lineari, a grande scala. Approcci ben stabiliti a questi problemi sono forniti dalla cosiddetta teoria della regolarizzazione. In questo seminario si presenterà una panoramica dei metodi matematici e numerici usati per la soluzione di tali problemi.

Marco Lenci

I sistemi di tipo biliardo (punto materiale che si muove di moto inerziale in un dominio, salvo collidere elasticamente contro i suoi bordi) sono fra i sistemi dinamici piu` studiati in matematica e piu` applicati in fisica. Questo e` dovuto a ragioni tanto oggettive quanto storiche. E` un fatto che in questa famiglia si trovino rappresentanti di tutti i tipi di sistemi dinamici, da quelli integrabili ai piu` caotici. Il progresso vertiginoso in quest'ultima classe e` uno dei successi piu` netti della fisica matematica degli ultimi decenni. In questo seminario faremo una panoramica di alcuni tipi di biliardo, cercando di dare alcune idee base per la comprensione dei biliardi caotici.

Nicola Arcozzi

Portare il valore assoluto dentro gli integrali ne mette a rischio la convergenza. Cercheremo di illustrare la necessita' concettuale e l'interesse tecnico delle cancellazioni che avvengono nelle somme e negli integrali in un breve tour che, a partire dalle serie non assolutamente convergenti e dalla media aritmetica, vorrebbe spingersi in direzione dell'analisi armonica e dei processi stocastici (integrali singolari, martingale).

Andrea Pascucci

Negli ultimi decenni, i mercati finanziari hanno subito una rapida evoluzione che ha portato ad alcuni momenti di forte crisi. In questo scenario le istituzioni finanziarie hanno sviluppato l'utilizzo di strumenti matematici sempre più sofisticati che a volte sono anche stati indicati come corresponsabili delle crisi stesse. In questo seminario si presenterà una panoramica di alcuni problemi matematici che sorgono in finanza e di quali sono le caratteristiche peculiari che distinguono questo da altri classici ambiti applicativi della matematica come la fisica.

Fausto Ferrari

Le proprietà di omogeneità di certi operatori ellittici e l'esistenza di opportune disuguaglianze permettono un approccio geometrico alla questione della regolarità delle soluzioni di alcuni problemi. In particolare, dopo aver introdotto la disuguaglianza di Harnack e la disuguaglianza di Harnack alla frontiera, verranno esaminati alcuni passaggi di questo metodo nel caso di un problema di frontiera libera.

Salvatore Coen

La riunificazione nazionale segnò uno straordinario risorgimento scientifico degli studi matematici in Italia. Esamineremo il caso bolognese, illustrando, molto brevemente, le vicende degli studi matematici a Bologna seguenti la riunificazione, attraverso opere scientifiche e vita accademica di alcuni dei matematici che ivi hanno operato.