Topics

Cicli brevi di seminari specialistici: Topics in Mathematics I & II A.A. 2009/2010

Organizzatori: proff. S. Abenda e G. Citti.

Stati coerenti e loro applicazioni

dott. Davide Barbieri

Abstract: "Inizialmente introdotti per descrivere stati quantistici dal comportamento quasi classico e per lo studio della luce laser, gli stati coerenti si inseriscono oggi in diversi settori di ricerca matematica come teoria dei gruppi di Lie, analisi complessa, geometria simplettica ed altro ancora. Le tecniche sviluppate in questi contesti hanno avuto molte applicazioni in fisica, hanno fondato la teoria dell'analisi dati in multirisoluzione e, più recentemente, stanno venendo applicate allo studio della corteccia visiva. Il seminario vuole dare una panoramica di base, partendo dal problema della quantizzazione, e cercando di fornire un quadro unitario degli sviluppi principali."

Disuguaglianze isoperimetriche sulle ipersuperfici dei gruppi di Carnot

dott. Francesco Paolo Montefalcone

Abstract: "Partirò illustrando una classica disuguaglianza isoperimetrica di Michael e Simon nel caso particolare delle ipersuperfici regolari dello spazio Euclideo n-dimensionale. Questo risultato verrà poi commentato avendo come scopo l'individuazione degli ingredienti-chiave necessari alla sua generalizzazione al contesto non-Euclideo dei gruppi di Carnot. In particolare, illustrerò la cosidetta "disuguaglianza di monotonia". Quindi, dopo aver introdotto le principali notazioni concernenti i gruppi di Carnot, cercherò di illustrare una tecnica che permette di generalizzare a questo setting la disuguaglianza di monotonia, ma in una versione localizzata. Darò poi alcune applicazioni, tra le quali la più importante è una versione generale della disuguaglianza isoperimetrica di Michael e Simon valida per domini di ipersuperfici regolari dei gruppi di Carnot.

Teoria Astratta del Potenziale ed Applicazioni alle Equazioni alle Derivate Parziali Degeneri

dott.ssa Chiara Cinti

Abstract: Vengono presentati le equazioni alle derivate parziali che risultano essere invarianti rispetto ad una struttura di gruppo di Lie omogenea, e si mostra come la teoria astratta del potenziale fornisca risultati di esistenza per le soluzioni del problema di Dirichlet. Viene discusso poi il problema della regolarità di punti della frontiera del dominio ed il principio di massimo forte. Vengono infine presentate disuguaglianze di tipo Harnack e stime asintotiche per le soluzioni non negative delle equazioni alle derivate parziali considerate.

Equazione di curvatura media in varietà CR

dott. Vittorio Martino

Abstract:Nella prima parte di questo seminario si introducono le varietà CR, soffermandosi in particolare al caso delle ipersuperfici reali in uno spazio complesso n-dimensionale: si definiscono allora le pseudocurvature (o curvature di Levi) in analogia con le classiche curvature costruite con gli autovalori della seconda forma fondamentale; si discutono infine alcune proprietà geometriche della pseudocurvatura media. Nella seconda parte si affronterà un problema di tipo analitico: l'equazione di assegnata pseudocurvatura media. Si tratta di un'equazione alle derivate parziali del secondo ordine, quasilineare, ellittica degenere e non in forma di divergenza: si discuteranno risultati riguardanti l'esistenza e la regolarità di soluzioni deboli nel senso viscoso.

Curvatura (media) nello spazio iperbolico

dott. Cosimo Sennio

Abstract: Si comincerà da alcuni richiami di geometria iperbolica. Poi si introdurrà la curvatura geodetica di una curva nel piano iperbolico per arrivare a definire la curvatura media per grafici di funzioni definite sul piano iperbolico. Tempo permettendo, si presenteranno alcune delle proprietà analitiche della curvatura media. Il seminario ha l'intento di fare una panoramica del calculus in geometria riemanniana, quindi saranno calcolate le curvature geodetiche di alcune curve.

Teoria del Potenziale in ambito euclideo, problema di Dirichlet

dott. Andrea Tommasoli

Abstract dei seminari: I due seminari hanno lo scopo d'eseguire una panoramica sulla teoria del potenziale classica originata dal problema di Dirichlet. Soluzione fondamentale, formule di media, formula di Green, funzione di Green, nucleo di Poisson e funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack e teorema di Liouville. Principio del massimo forte e debole. Risolubilità del problema di Dirichlet, metodo di Perron e regolarità. Criteri di regolarità. Generalizzazione alle PDE del secondo ordine con forma semidefinita positiva: principio del massimo. Cenni a laplaciani su gruppi di Carnot e a teoria del potenziale astratta su spazi armonici.

Statistica delle immagini naturali in gruppi di Lie

dott. Gonzalo Sanguinetti

Abstract del seminario: Vedremo come modellare i contorni nelle immagini naturali, attraverso punti nello spazio 3D delle posizioni \[ (x,y) \in R^2 \] e delle orientazioni \[ \theta \in S^1 \]. La struttura geometrica dello spazio viene identificata con il gruppo delle rototraslazioni. In questo spazio calcoliamo l'istograma delle co-occorrenze dei contorni in un database di immagini naturali. In seguito mostriamo come questo può essere interpretato attraverso una densità di probabilità, definita dalla soluzione fondamentale di una equazione Fokker-Planck nello spazio 3D. Sia la statistica che il modello saranno riconsiderati e messi a confronto con i campi associativi proposti da Field, Hayes and Hess. Infine, una identificazione dei parametri permetterà di ottenere la varianza del processo di co-occorrenza nelle immagini naturali.

Seminario

prof. Nicola Arcozzi

Abstract del seminario: Spesso accade che un problema inizialmente posto in uno spazio X si risolva agevolmente su un nuovo spazio Y, dove X=dY. Viceversa, problemi in Y vengono meglio inquadrati una volta che si sia individuato un "bordo" dY per Y. Cercherò di illustrare l'utilità di questi due punti di vista con esempi dall'analisi, dalla probabilità e dalla geometria.