Ines Marazzani
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A spasso per il lago
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Dove vanno le rondini in autunno?
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Le montagne più alte e i mari più profondi
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Le potenze (numeri grandissimi) Una storia…
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Numeri grandi... grandi...
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Caccia alle potenze
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Giochiamo a indovina il numero
A spasso per il lago
Lo scorso anno abbiamo iniziato le attività di II elementare calcolando i chilometri percorsi dagli alunni durante le vacanze estive.
Quest’anno proponiamo di progettare un viaggio in traghetto che porterà tutti i nostri alunni da Riva del Garda a Peschiera, per poi continuare in autobus fino a Gardaland.
Dopo la partenza da Riva del Garda, la prima tappa del traghetto è Limone sul Garda. Da qui ripartiamo per andare a Malcesine. Tappa successiva a Gargnano, poi a Toscolano. Da qui il traghetto riparte per fermarsi di nuovo a Salò. Tappa successiva a Desenzano del Garda; da qui riparte per fermarsi ancora a Sirmione ed infine a Peschiera. Scendiamo dal traghetto e saliamo in autobus… Siamo quasi arrivati a Gardaland!
1. Fotocopiamo la cartina del lago di Garda ed invitiamo i bambini ad individuare le cittadine che si affacciano sul lago e ad indicarne le coordinate.
2. Calcoliamo insieme quanti chilometri occorre percorrere per raggiungere Gardaland partendo da Riva del Garda in traghetto.
3. Informiamo gli alunni che dobbiamo essere chiari nel nostro progetto di viaggio perché dobbiamo consegnarlo al capitano del traghetto e sappiamo per certo che il capitano non vuole che il percorso totale sia calcolato in chilometri. Lui pretende i calcoli in metri.
Dove vanno le rondini in autunno?
Aprendo la finestra, nel mese di ottobre, può capitare di vedere nuvole di uccelli neri che viaggiano nel cielo: le rondini (e non solo). Facciamo osservare questo fatto ai nostri alunni, magari coinvolgendo l’insegnante di scienze, per dare, insieme a lui, alcune informazioni ai nostri alunni. Leggiamo insieme a loro il breve testo seguente (se lo riteniamo utile possiamo darlo in fotocopia).
Le rondini già da settembre si ritrovano insieme in posti speciali che possono ospitarle e possono dar loro alloggio e nutrimento. Questi posti speciali (i naturalisti li chiamano siti) sono paludi e canneti che talvolta ospitano decine di migliaia di uccelli. Qui le rondini si riposano e mangiano prima di partire per il lungo viaggio. Prima di partire “(…) devono aver mangiato molto bene (…). Devono essere belle grasse, per sostenere lo sforzo di quel lunghissimo viaggio. Se partissero a stomaco vuoto e con poco grasso sotto le piume, rischierebbero di cadere sfinite nel deserto. Il grasso è per loro come la benzina per un aeroplano”.
In Italia, purtroppo, sono scomparsi moltissimi canneti e moltissime paludi, quindi le rondini hanno pochi posti accoglienti dove andare a rifugiarsi: la Palude di Colfiorito in Umbria, i lago di Lesina e D’Aunia Risi in Puglia, Val Campotto e Valle Santa nel ferrarese.
Dai posti indicati le rondini, a migliaia, partono per il loro viaggio. È possibile sapere con precisione dove vanno a trascorrere i mesi in cui da noi non troverebbero cibo, grazie a piccoli anellini che vengono messi su una zampetta degli uccelli. La loro meta è l’Africa: le rondini si ritrovano in un posto speciale, un canneto che sembra ospiti 40.000.000 di rondini ogni inverno. Si tratta di Boje Ebbaken, in Nigeria. Le rondini trascorrono l’inverno anche in Camerun e nella Repubblica Centro Africana. Da qui ripartono, quando devono accoppiarsi e deporre le uova, per tornare sotto i tetti delle nostre case.
Ma quanta “strada” percorrono le rondini?
Poniamo questa domanda in classe, ammesso che non sia posta da qualche nostro allievo e tentiamo di dare una risposta usando il mappamondo e le cartine. Individuiamo sul mappamondo l’Italia e la Nigeria, poi chiediamo ai nostri alunni di individuare su una cartina dettagliata i posti segnalati e di segnarli con un punto (come vogliono loro). Chiediamo ora di collegare i punti individuati in Italia con i punti individuati in Africa e facciamoli collegare con una linea.
Chiediamo ora di indicare quanti chilometri hanno percorso le rondini per recarsi nei diversi punti dell’Africa. Sorgerà il problema del rapportare la distanza alla scala della nostra cartina, ma i ragazzi fanno la quinta elementare, quindi non ci dovrebbero essere difficoltà a far capire loro che cosa indica, ad esempio, la scritta:
Scala 1 : 70000000
Diciamolo, comunque, con le parole ed aiutiamo i ragazzi a leggere quei numeri che possono creare loro problemi.
Inseriamo i numeri ottenuti in una tabella attraverso cui tenteremo di chiarire il valore delle singole cifre.
Chiediamo ancora di calcolare la distanza annua precorsa dalle rondini: non dimentichiamo che compiono il viaggio di andata e quello di ritorno!
Ogni mattina a scuola
Possiamo proporre un’attività simile anche prendendo in considerazione la strada che ognuno dei nostri allievi percorre per recarsi da casa a scuola. Partiamo da un problema che vede protagonisti possibili alunni di III elementare, che poi, possiamo calare nella realtà della nostra classe. Questa attività ci servirà soprattutto per quei bambini che non riescono ad allontanarsi, nemmeno con la fantasia, dal loro mondo quotidiano. Sarà, quindi, proprio nel loro mondo che cercheremo di riconoscere numeri grandi.
Gli alunni della classe IIIa si recano tutti i giorni a scuola da varie parti del quartiere. Decidono di calcolare quanti metri percorrono in totale (a piedi, in bicicletta, in automobile, con lo scuolabus,…), per recarsi per un mese a scuola. Per questo compilano una tabella che serve a rilevare la distanza da scuola dell’abitazione di ognuno di loro.
Quanti metri percorrono in totale in un mese?
Le montagne più alte e i mari più profondi
Partiamo dal lavoro fatto durante lo scorso anno scolastico sull’altezza delle montagne e chiediamo ai bambini di non riporre le cartine geografiche con cui abbiamo lavorato e invitiamoli a scegliere uno Stato (può essere uno di quelli di cui abbiamo parlato cercando la strada delle rondini) e di individuare le montagne più alte che ci sono.
Chiediamo poi di scriverne il nome e l’altezza corrispondente in una tabella a doppia entrata e, quando tutti avranno finito, di realizzare un cartellone di gruppo in cui risultino presenti tutte le montagne individuate da tutti.
Chiediamo ancora di riportare “in scala” le altezze delle montagne su strisce di carta e di incollarle su un cartoncino bristol, dove avremo tracciato una linea, dalla più alta alla più bassa. Invitiamo i bambini a riprodurre sul quaderno tutto il lavoro che stiamo facendo in gruppo, in modo che ognuno di loro ne abbia una documentazione personale.
Chiediamo ora ai bambini di osservare attentamente il bacino del Mediterraneo raccontando ancora un particolare che riguarda le rondini.
Fino a non molto tempo fa, le persone credevano che le rondini, in inverno, si rifugiassero in fondo al mar Mediterraneo, perché spesso capitava che i pescatori le trovassero nelle loro reti prive di forza. Appena ripescate le rondini riprendevano a volare alte per la propria strada: erano finite in acqua perché stremate dalla fatica, ma tutti credevano che fossero ritornate dagli abissi marini.
Chiediamo agli alunni di individuare sulla cartina geografica le diverse profondità indicate e di svolgere lo stesso lavoro fatto per le montagne, attaccando anche in questo caso, sullo stesso cartellone, strisce di carta che indicano le varie profondità del mare.
Riportiamo su cartoncini i numeri che rappresentano le altezze delle montagne e le profondità del mare e mettiamoli tutti insieme in un contenitore. Prendiamone due alla volta e chiediamo ai bambini di indicare (facendo il calcolo sul quaderno o usando la calcolatrice) la differenza che c’è fra le misure che stiamo considerando.
È ovvio che per questa attività è necessario che davanti ad ogni numero ci sia il segno, ma evitiamo di scriverlo fino a quando non sia richiesto, per necessità, dagli alunni.
Le potenze (numeri grandissimi)
Una storia…
Raccontiamo la storia del re e del gioco degli scacchi leggendo ai bambini il seguente brano:
«Il re della Persia, il più potente mago del suo tempo, chiamò un famoso mago, Sissa Nassir, e gli disse: - Inventa per me un gioco bellissimo, che io lo possa giocare in ogni momento, e che sia imperituro. – Sissa inventò gli scacchi e li donò al re che tanto fu contento che gli disse: - Hai superato te stesso; chiedimi ordunque come ricompensa quel che vuoi e sarai accontentato. – E Sissa chiese, semplicemente, un po’ di riso. – Come un po’ di riso, - ribatté il re incredulo e divertito. – Chiedi di più, quel che vuoi. – Ma Sissa insisté, finché il re disse: - E sia, tutto il riso che vuoi ti sarà dato. – E chiamò il gra ciambellano, che era anche l’abacista di corte. Sissa chiese un granello di riso per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza, e così via sempre al raddoppio, fino a completare le caselle della scacchiera che lui stesso aveva inventato. Il re rise a crepapelle, pensando: Che idiota, poteva avere metà del mio regno! Ma il gran ciambellano sbiancò in volto. Si rivolse al re e disse: - Maestà, temo che non potremo accontentare Sissa Nassir. – Oh, e perché? – chiese il re allibito. E il ciambellano fece presente al re che anche raccogliendo tutto il riso di Persia e di Cina e di India e di ogni terra emersa, non solo il riso del raccolto attuale, ma, ma il passato e il futuro nei tempi dei tempi, mai e poi mai si sarebbe ottenuto tanto riso, il cui valore superava di miliardi di volte quello del reame stesso. E così finì che Sissa Nassir fu decapitato per alto tradimento reale e il ciambellano fu condannato a fare i conti di quanto riso era quello richiesto…»
Già… ma quanto riso era quello richiesto?
Proviamo a calcolarlo sulla scacchiera. Disegniamo le prime nove caselle e poniamo sopra ogni casella i chicchi di riso chiesti da Sissa Nassir. Come possiamo andare avanti? Proviamo…
Proviamo, ora, a vedere con la calcolatrice cosa succede se moltiplichiamo un numero per se stesso ripetutamente.
Ad esempio:
5 × 5 = 25
Oppure 5 ×5 × 5 = 25 × 5 = 225
Oppure 5 × 5 × 5 × 5 = 225 × 5 = 1125
Oppure 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 1125 × 5 = 5625
Oppure 5 ×5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5625 × 5 = 28125.
I bambini si renderanno conto che il risultato sale molto velocemente, man mano che aumentiamo il numero dei fattori perché il numero ottenuto è nuovamente moltiplicato per 5.
Potrebbe capitare che bimbi con i fratelli più grandi abbiano notato nei loro libri o nei loro quaderni le potenze; vediamo quali sono le loro conoscenze. Noi possiamo dire che i matematici per semplificare scritture così lunghe hanno ideato un modo per rappresentare il numero ottenuto.
Per scrivere tutte le moltiplicazioni coi fattori uguali usano questo modo di scrivere: 5² → 25
5³ → 225
e così via.
Il numerino scritto in alto corrisponde al numero di volte che si moltiplica per 5 e il suo nome in matematica è esponente. Il numero che vogliamo moltiplicare si chiama base (termine che i bambini conoscono già); scrivendo in questo modo usiamo una potenza del cinque.
Caccia alle potenze
Organizziamo i bambini a piccoli gruppi per costruire numeri con le potenze usando altre basi, poi socializziamo le scoperte e ordiniamo le potenze dalla più piccola alla più grande.
Osserviamo se qualcuno ha pensato alle potenze del 10 e vediamo se scoprono che, se la base è il numero dieci, è più semplice perché 10¹ significa 10 per una volta, 10² corrisponde alla moltiplicazione 10 × 10 cioè…
Lasciamo la scoperta ai bambini… e lasciamogli fare tutte le considerazioni; diciamo solo che questa forma di scrivere i numeri si chiama potenza.
Noi possiamo scrivere i numeri sotto forma di potenza, oppure scomporli in più potenze. Ad esempio 2000 possiamo scriverlo: 2 × 10³.
La regola delle potenze è che se mettiamo in alto zero la potenza vale una unità, perciò se scriviamo 20 equivale a 1, oppure 50 = 1.
Troviamo insieme ai bambini la forma per scrivere la propria data di nascita e altri numeri significativi per loro usando le potenze.
Giochiamo a indovina il numero
Ognuno sceglie un numero da scrivere con le potenze su un biglietto, poi si raccolgono e si mescolano i biglietti. I bambini divisi in due squadre, a turno estrarranno uno dei biglietti e dovranno indovinare il valore della potenza. Vince la squadra che ottiene più punti.
Curiosità
Diciamo ai bambini che scrivere i numeri in forma di potenze è utile soprattutto in campo scientifico, quando si devono eseguire calcoli con misure infinitamente grandi o infinitamente piccole.
Proponiamo di cercare a casa nei testi, scolastici e non, dei fratelli più grandi o dei genitori, misure espresse con le potenze. Possono guardare quando vanno in giro se trovano numeri con l’esponente (ad esempio cartelli vicino a laghi). Discutiamo e socializziamo le informazioni e le notizie trovate.
Prerequisiti
· Moltiplicare e dividere per 10, 100, …
Si può partire da diversi punti:
1. La curiosità dei bambini riguardante l’astronomia, in particolare il sistema solare.
2. Discussioni che spesso avvengono in classe su vincite strepitose alle lotterie.
3. La semplice ricerca su giornali, riviste, Internet su numeri che sono illustrati anche con “parole” come milioni, miliardi.
Alcune notizie sul Sole che si possono trovare su Internet o su un qualsiasi libro di astronomia: “Il sistema solare si è formato circa 4,55 miliardi di anni fa… Il sole appartiene ad un sistema stellare formato da circa 200 miliardi di stelle, che prende il nome di Galassia.. Il sole si pensa che abbia 5 miliardi di anni… Il sole è la stella centrale del nostro sistema planetario ed attorno ad esso ruotano i nove pianeti conosciuti, a distanza tra 46 milioni ( Mercurio) e 7,4 miliardi (Plutone)… La distanza media Terra-Sole è invece pari a 149,6 miliardi di chilometri ed è detta unità astronomica, in simbolo U.A…”.
In questo breve testo ci sono numeri che, di solito, incuriosiscono i bambini.
Chiediamo se riescono a scriverli, quanto li immaginano lunghi.
Il compleanno del Sole [lettura fatta dall’insegnante]
Fase I
Il sole compie 5 miliardi di anni.
Tutti i suoi amici, Stelle, Pianeti, Asteroidi,e qualche buco nero decidono di fare una Intergalattica festa di compleanno.
Vogliono preparargli la torta con le candeline a forma di numeri, ma qui trovano qualche difficoltà….
[Vediamo se i bambini riescono a scrivere 5 miliardi, qualcuno di sicuro c’è o forse sono in molti se abbiamo già lavorato sul “periodo” del numero (unità semplici, migliaia, milioni, ecc…)].
Venere, molto amica della stella che vogliono festeggiare, dice che il Sole, corpo stellare molto permaloso, potrebbe non essere contento di vedere sulla torta tutti quei numeri che ricordano la sua vecchiaia, quindi… bisogna cercare un altro modo per scriverlo.
Se nessun bambino riesce a scrivere 5.000.000.000 glielo diremo noi, ovviamente!
Prima di passare alla fase successiva risponderemo in modo adeguato a tutte le possibili domande dei bambini, tipo:
· quanti zeri ci vogliono per scrivere 20 miliardi,
· come si legge un numero con 10 zeri,
· quanto vale un numero con 10 zeri…
Forse non sarebbe male proporle noi se non vengono in mente a nessuno.
Fase II
Vediamo con i bambini altri modi per scrivere 5.000.000.000:
5 ×1.000.000.000 ( non viene risolto il problema di Venere)
Ragioniamo con i bambini su quel 1.000.000.000 che può essere scritto:
10 ×10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
per cui 5 miliardi diventa:
5 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 (il problema di Venere non è ancora risolto).
Facciamo osservare ai bambini quante volte è stato scritto il 10 e invitiamoli a trovare un modo di scrivere il numero iniziale aiutandoci con queste conoscenze:
5 × 10 ripetuto 9 volte non può andare bene perché significa: 5 × 90 = 450.
Spieghiamo allora che la soluzione può essere.
5 × 10 9 ( dove quel piccolo numero indica quanto è potente il 10)
che significa:
5 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10.
Venere e con lei, Stelle, Pianeti, Buchi neri, asteroidi sono orgogliosi della trovata e sulla torta scrivono:
5 × 109
Il sole, nel vedere, quella fantastica torta con crema alla polvere di stelle, pistacchio di Mercurio e cioccolata di Plutone, si è quasi commosso nascondendosi per qualche secondo dietro la luna (gli scienziati della Terra hanno giustificato questo fatto parlando di eclissi).
Il momento più emozionante della festa Intergalattica è stato quando il Sole ha soffiato sulle candeline: era così orgoglioso dei suoi anni, che per un momento ha irradiato attorno a sé un raggio potentissimo e sulla Terra il termometro ha toccato la temperatura di 45°.
Anche gli altri Pianeti vogliono una torta come quella del Sole, con la loro età scritta con la potenza…
Si possono cercare le età dei pianeti (libri e Internet) e far continuare la storia.
Assieme ai bambini si può vedere questo film: parla di un “Gremlin” che viene regalato ad un ragazzino con qualche raccomandazione, una delle quali di fare in modo che il piccolo esserino non si bagni. Il “Gremlin” naturalmente si bagna e di raddoppia (da uno diventa 2) , a contatto con l’acqua 2 diventano 4, da 4 diventano 8 e così via fino ad invadere la città, ci sono i buoni e i cattivi, ma alla fine tutto finisce bene.
Riflessioni matematiche:
· il “gremlin” è da solo (disegnalo)
· il “ si bagna e diventano 2 (disegnali)
· i “ sono 2 e si bagnano diventano 4 (disegnali)
· i “ sono 4 e i bagnano diventano 8 (disegnalo)
Quando il piccolo essere si sarà bagnato 6 volte avremo 2×2×2×2×2×2 e si può anche scrivere 26.
Dopo che si sarà bagnato 8 volte avremo 28 cioè 2×2×2×2×2×2×2×2, prova a calcolare il numero aiutandoti con la calcolatrice.
Anche questo può essere un buon punto di partenza!
Numeri minuscoli
Anche qui il punto di partenza può essere un testo scientifico ad esempio sul peso degli atomi:
Un atomo di idrogeno pesa 1,7 x 10-24 grammi...
Ad occhio, ricordandoci le attività descritte sopra, potrebbe sembrare pesantissimo, più pesante di una montagna o di Hulk, ma senz’altro qualche bambino noterà quel segno meno davanti al 24.
Le competenze fino ad ora acquisite sui numeri negativi aiuteranno il bambino a capire in che direzione andare, usando la virgola.
L’atomo di idrogeno pesa 0,0000000000000000000000017 grammi!
È il classico gioco delle carte coperte, dove a turno se ne devono scoprire due e, se sono uguali si prendono e diventano bottino personale, se non sono uguali si passa al concorrente successivo.
Chi, al termine delle carte sul tavolo possiede più coppie ha vinto.
Costruiamo le carte
Assieme ai bambini consideriamo tutti i numeri visti fino ad ora (con le potenze): su una carta scriviamo il numero senza usare le potenze (es: 5.000.000.000) e in un’altra il numero con potenza (es: 5 × 108) oppure in una carta scriviamo 5 miliardi e nella sua corrispondente lo stesso numero attraverso la potenza.
Il domino
Usando la stessa procedura (già utilizzata in classe II) possiamo costruire il gioco del domino.
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Potenze con esponente negativo: dal micro al macro.
Può capitare che qualche bambino trovi potenze con l’esponente preceduto dal segno meno, ad esempio in riferimento alla misura dell’atomo, oppure delle cellule; approfittiamone per capire anche rapporti di riduzione delle misure fino al mondo dell’invisibile e del microscopico. Può essere utile la visione del film “ Microcosmo”, documentario con immagini suggestive e a volte impensabili del mondo circostante.
Quando affrontiamo la misurazione delle lunghezze e facciamo utilizzare il millimetro, domandiamo ai bimbi se secondo loro è possibile continuare a rimpicciolire per dieci, cento, mille o un milione di volte…, come si scriverà il numero della misura considerata.
I bambini avranno delle idee intuitive che potranno stupirci, tutto ciò che emerge da loro è molto importante.
Altre unità di misura
Nei testi di divulgazione scientifica si trovano informazioni sulla grandezza delle cellule.
Le dimensioni delle cellule del corpo umano sono circa la millesima parte di un millimetro, l’unità di misura è il micron.
0,1 mm = 100 micrometri
Diciamo ai bambini che
0,1sotto forma di potenza diventa 10-1, perciò un micrometro diventa 10 alla meno sei metri.
Il nanometro è un milionesimo di metro e possiamo trovarlo scritto con 10 alla meno 9 metri.
Ovulo umano = 100 micrometri
Uovo di riccio di mare = 70 micrometri
Cellula del fegato = 20 micrometri
Globulo rosso = 7 micrometri
Cellula batterica = 1 micrometro
Nel corpo umano ci sono pensate 60 mila miliardi di cellule! (6 x 1012).
Grandezze in scala e potenze
Costruiamo dei cartoncini uguali, lavorando a gruppi possiamo rappresentare col disegno immagini tratte da libri e con alcuni soggetti come l’atomo, i virus, i batteri, globuli rossi, organismi unicellulari, animali piccolini e grandi, navi, gallerie, isole, la terra, il sole, stelle, nebulose e galassie.
Giochiamo coi cartoncini provando a ordinarli dall’elemento più piccolo all’elemento più grande. Quando si usano numeri molto grandi è più facile leggerli, scriverli e ricordarli attraverso le potenze del dieci.
Usiamo questi cartellini per costruire un gioco dell’oca, insieme ad altri in cui scriviamo quesiti con le potenze. Esempio:
· Dì il successivo di 10 alla terza.
· Il quadrato di 8.
· Torna alla casella dov’è 10 alla meno sette.
· Il cubo di 2.
· 10 alla seconda per 4.
· Vai indietro di 4 alla zero.
· Togli 5 a 10 alla prima.
· Dì il precedente di 10 alla quarta.
· Il cubo di 3.
· Vai avanti di 1 alla quinta.
· Dì il precedente del quadrato di 6.
· 10 alla zero più 50.
· 10 alla terza per 1.
· Torna indietro di 2 caselle.
· 50 : 10 alla prima.
· Dì il successivo di 10 alla meno uno.
· Il quadrato di 7.
· Vai avanti di 3 per 10 alla zero.
· Il cubo di 5.
· Il cubo di 4 meno il cubo di 1.
· Il successivo di 10 alla meno due.
· Il quadrato di 3.
· Ecc..
A gruppi i bambini possono aggiungere altre difficoltà da superare ed allungare il gioco dell’oca con altre tessere.
Negli atlanti geografici troviamo notizie dell’evoluzione dell’universo, dalla sua formazione al tempo presente con la linea del tempo e i miliardi di anni trascorsi e le sue tappe fondamentali. Ciò può incuriosire i bambini al punto di tradurre i numeri in potenze così da dominarli più facilmente.
Parlando dell’Universo saranno attratti dagli “oggetti” del cielo e porteranno a scuola altre notizie.
“…La Via Lattea è una galassia a spirale… il diametro è di circa 100000 anni luce. Il Sistema Solare è situato in un braccio della galassia, a circa 3000 anni luce dal suo nucleo…
..La Nebulosa Andromeda, visibile a occhio nudo, è una galassia a spirale distante dalla Terra circa 2500000 di anni luce e ha il diametro di circa 200000 anni luce… La Nebulosa di Orione si può vedere a occhio nudo nel cielo australe ed è la più vicina a noi: dista 1500 anni luce…
Poniamo ai bambini il problema di misurare l’anno luce.
Se non lo sanno diciamo loro che la luce viaggia percorrendo in un secondo 300000 km.
Possiamo trovare l’ora luce.
Vediamo come si organizzano per i calcoli e se sfruttano le competenze acquisite con le esperienze con le potenze.
Cellula batterica = 1 micrometro
Nel corpo umano ci sono pensate 60 mila miliardi di cellule! (6 x 1012).
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