Università di Bologna
Dipartimento di Matematica
GRUPPO DI RICERCA DI PROBABILITÀ
“Processi Stocastici e applicazioni a Filtraggio,
Controllo, Simulazione e Finanza Matematica”
Il gruppo di Probabilità del Dipartimento di Matematica di Bologna si occupa principalmente di teoria della percolazione e dei campi aleatori e di problemi generali su successioni di variabili aleatoriie anche caollegati con problemi statistici sul campionamento sequenziale.
Componenti del gruppo
- Prof. Massimo Campanino
- professore ordinario
- Dott. Irene Crimaldi
- ricercatore
- Dott. Serena Fuschini
- assegnista
Linee fondamentali di ricerca
Nel settore della Teoria Generale dei Processi Stocastici si inquadra la teoria dei campi aleatori. In particolare siamo interessati allo studio dei campi di Gibbs e della percolazione. I campi aleatori di Gibbs sono definiti in termini di sistemi coerenti di probabilità condizionali detti specificazioni. Siamo inoltre interessati a problemi generali di probabilità su successioni di variabili aleatorie anche in connessione con il campionamento sequenziale in statistica.
Per quanto riguarda i campi aleatori la ricerca collegata alla teoria di Ornstein-Zernike, che è sviluppata in maniera rigorosa per la percolazione nel lavoro di M. Campanino e D. Ioffe i "Ornstein-Zernike Theory for the Bernoulli Bond Percolation on Z^d" apparso su The Annals of Probability [CI], è stata estesa al caso di campi aleatori di Ising con potenziale di portata finita nel lavoro di M. Campanino, D. Ioffe e Y. Velenik "Ornstein-Zernike theory for finite range Ising models above Tc" ([CIV1]) apparso su Probability Theory and Related Fields. Nel lavoro "Fluctuation Theory of Connectivities for Subcritical Random Cluster Models" di M. Campanino, D. Ioffe e Y. Velenik, pubblicato su The Annals of Probability, ( [CIV4] ) viene sviluppata una teoria della fluttuazioni per modelli di cluster aleatori al di sotto del punto critico. La teoria è basata su una descrizione probabilistica lunghi clusterconnessi in termini di catene essenzialmente unidimensionali di oggetti irriducibili. Le statistiche di osservabili locali, ad esempio lo spostamento, su queste catene seguono le classiche leggi limite e questa costruzione conduce a una rappresentazione dei cluster di percolazione in termini di passeggiate aleatorie. Si ottiene una formula asintorica del tipo di Ornstein-Zernike per le funzioni di connessione di due punti, una dimostrazione dell'analicità e della stretta convessità dell'inverso della lunghezza di connessione e una dimostrazione di un principio di invarianza per cluster connessi. Altri risultati vengono ottenuti nel caso bidimensionale grazie alla dualità. In collaborazione col dott. Michele Gianfelice dell'Universtà della Calabria abbiamo studiato in [CaG], nell'ambito della percolazione di Bernoulli, la probabilià dell'evento che tre punti appartengano ad un cluster di percolazione e quali siano le realizzazioni tipiche di questo evento, nel limite in cui distanza mutua tra questi punti tende all'infinito. Questa ricerca si basa sui risultati del lavoro [CI] sul comportamento asintotico della probabilità di connessione di due punti e sulle tecniche e le costruzioni introdotte là. Il risultato apparirà su Probability Theory and Related Fields.
La dr.ssa. Irene Crimaldi in una serie
di lavori ([Cr], [CrP], [Cr2], [CrP2], [CrP3] [CrP4], [CrLP1]) si è occupata della nozione di convergenza delle speranze condizionali
e sue applicazioni alla Teoria del Filtraggioi ella Teoria dei Processi Stocastici.
Recentemente si è occupata di modelli ad urna ([BACr]) e successioni di campionamento di specie.
Inoltre in collaborazione con G. Letta e L. Pratelli ([CrLP2]) si è occupata di un problema relativo
alla convergenza di successioni di sigma algebre studiato già da vari matematici, fra
cui più recentemente Yor con applicazione al teorema di convergenza per martingale inverse.