Nota: Per gli argomenti con l'asterisco è richiesta la dimostrazione

Formula di Taylor: Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nel caso n=1), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor e della primitiva del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), (1+x)^a, 1/(1-x) (*), log(1+x) (*), arctan (x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate.

Serie numeriche: Somme parziali o ridotte, somma di una serie, serie oscillante, convergenza semplice, convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (*). Condizione necessaria per la convergenza è che il termine n-esimo della serie tenda a zero. Serie geometrica (*), serie armonica e serie armoniche generalizzate (*). Serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio integrale per serie. Serie a termini di segno alterno (criterio di Leibniz).

Calcolo differenziabile per funzioni da R^n in R^m:
a. Funzioni scalari (m=1): Derivata parziale in un punto, differenziabilità in un punto, derivata direzionale in un punto, gradiente.
Il gradiente è la direzione di massima variazione della funzione (*) , il gradiente di una funzione è ortogonale agli insiemi di livello della funzione stessa. Una funzione a gradiente nullo su un connesso è costante.
Una funzione differenziabile è continua(*), una funzione C^1 è differenziabile. Il differenziale, equazione del piano tangente in un punto del grafico y=f(x),x= (x1,...,xn).
Derivabilità della funzione composta.
Derivate parziali di ordine superiore, matrice hessiana. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine. Segno di una forma quadratica. Classificazione della forma quadratica associata a una matrice simmetrica.
Massimi e minimi locali e punti critici; condizioni necessarie e sufficienti per estremanti relativi interni di funzioni regolari(*).

b. Funzioni a valori vettoriali (m>1): derivate parziali, matrice jacobiana, differenziabilità e differenziale.
Differenziabilità della funzione composta. Differenziabilità e matrice jacobiana della funzione inversa(*).
 

Calcolo integrale per funzioni da R^n in R (Riemann): Misura del sottografico di una funzione numerica non negativa in più variabili. Misurabilità del sottografico di una funzione numerica continua quasi ovunque, limitata e definita su un insieme limitato e misurabile. Integrale per funzioni non negative come misura del sottografico, integrale per funzioni di segno qualsiasi. Condizione sufficiente per la sommabilità di una funzione continua su un disco forato; condizione sufficiente per la sommabilità di una funzione continua su un insieme misurabile non limitato.
Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Teorema della media integrale.
Principio di Cavalieri e calcolo del volume come integrale della misura delle sezioni; volume di un solido di rotazione. Teorema di riduzione per gli integrali doppi e tripli di funzioni continue su domini normali(*).
Teorema del cambiamento di variabile negli integrali doppi e tripli. Significato geometrico del determinante della matrice Jacobiana. Cambiamento in coordinate polari, in coordinate sferiche e in coordinate cilindriche.
 

Varietà in forma implicita o parametrica:
a. Curve e integrali curvilinei Parametrizzazione, traiettoria, sostegno, omeomorfismo e diffeomorfismo, cambiamento di parametrizzazione. Curva, curva regolare, curva semplice, curva chiusa, curva orientata, curva rettificabile.
Spazio tangente alla curva in un punto, punti di arresto. Retta tangente  ad una curva in un punto. Curve piane in coordinate polari.
Integrazione di una parametrizzazione. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea. Lunghezza di una curva regolare (*). La lunghezza si conserva per cambiamenti regolari di parametrizzazione(*).
Integrale curvilineo di una funzione scalare. Esempi: massa, baricentro e momento di inerzia rispetto a una retta per un filo.
Integrale curvilineo di un campo vettoriale (lavoro) e sue proprietà. Campo vettoriale conservativo, potenziale di un campo conservativo; campo vettoriale irrotazionale. Un campo vettoriale C^1 conservativo è irrotazionale (*). Il lavoro di un campo conservativo lungo una curva regolare orientata è uguale alla differenza di potenziale agli estremi della curva(*). Caratterizzazione di un campo conservativo tramite integrali curvilinei. Condizioni sufficienti affinché un campo irrotazionale sia conservativo: un campo irrotazionale su un disco, su un aperto stellato, su un insieme semplicemente connesso è conservativo.
Se il lavoro di un campo chiuso su R^2 privato dell'origine è nullo lungo una circonferenza di centro l'origine, allora il campo è conservativo.
 

b. Superfici ed integrali di superficie: Parametrizzazioni di superfici regolari semplici di R^3; spazio tangente e spazio normale a una superficie regolare semplice, equazione del piano tangente a una superficie in un punto.
Area di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della divergenza su domini regolari di R^3 (dimostrazione nel caso in cui il dominio sia un parallelepipedo).

c. Varietà in forma implicita ed estremanti condizionati: Varietà regolare in forma implicita; vettore tangente a una varietà in un punto, spazio normale e spazio tangente a una varietà in un punto. Esempi: insieme di livello di una funzione(*), grafico cartesiano di una funzione in più variabili(*), curva in forma implicita come insieme di livello f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 (*), superficie in forma implicita come insieme di livello f(x,y,z)=0(*).
Teorema del Dini (caso scalare e vettoriale) ed esistenza locale di una parametrizzazione nell'intorno di ciascun punto di una varietà. Applicazioni agli insiemi di livello del tipo: f(x,y)=0; f(x,y,z)=0; f(x,y,z)=g(x,y,z)=0. Applicazione alla ricerca e classificazione dei punti critici di funzioni definite in forma implicita [f(x,y)=0, f(x,y,z)=0].
Punto estremante condizionato e punto critico condizionato. Un punto x è critico condizionato di f alla varietà se e solo se il gradiente di f appartiene allo spazio normale alla varietà in x. Un punto estremante condizionato di una funzione regolare definita su una varietà è un punto critico condizionato della funzione alla varietà stessa. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (condizione necessaria) (*).
 
 

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: Esistenza e unicità globali della soluzione di un problema di Cauchy associato a un'equazione differenziale lineare a coefficienti e termine noto continui.
Equazioni differenziali lineari omogenee: principio di sovrapposizione (*); l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione pari all'ordine dell'equazione; wronskiano di due soluzioni, teorema del wronskiano. Integrale generale di un'euqazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti(*). Integrale generale dell'equazione di Eulero (*)(cambiamento della variabile indipendente).
L'integrale generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea è la somma dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata e di un integrale particolare della non omogenea (*). Metodi per la ricerca di un integrale particolare della non omogena: teorema di variazione delle costanti di Lagrange; metodo di simpatia per le equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti e con termine noto di tipo exp(ax), cos(bx), sin(bx) o polinomiale.