1. Insiemi, relazioni e funzioni

Algebra delle proposizioni; proprietà e quantificatori; Teoria ingenua degli insiemi; algebra degli insiemi; regole di De Morgan; Prodotto cartesiano fra insiemi; Funzioni: funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva, immagine, controimmagine, funzione composta, funzione inversa. La funzione valore assoluto, la funzione segno. Relazioni; Relazioni d'ordine debole e forte; insieme totalmente ordinato; legge di tricotomia; massimo, minimo, estremo superiore e inferiore, maggiorante e minorante di un insieme.

2.  ,  ,  ,  , 

Gruppi; campi; proprietà dei campi, risoluzione delle equazioni; campo totalmente ordinato;  come campo totalmente ordinato e completo; radici n-esima di un numero reale positivo; definizione di intervallo; disequazioni. come minimo insieme induttivo; principio di induzione; buon ordinamento di  ; rappresentazione dei numeri naturali mediante il principio posizionale; fattoriale; coefficiente binomiale; binomio di Newton;  ;  campo ordinato; frazioni e numeri decimali periodici; funzione parte intera; rappresentazione dei numeri reali. Cardinalità: insiemi finiti; insiemi numerabili; insiemi non numerabili. Numeri reali e numeri razionali.; operazioni algebriche fra numeri complessi; rappresentazione algebrica e trigonometrica o esponenziale dei numeri complessi;  e  ; unità immaginaria; modulo; funzione argomento; potenze; formula di de Moivre; radici.

3. Successioni e serie in  o , successioni e serie di funzioni

Successioni reali e complesse; successioni limitate; successioni monotone; successioni definite per ricorrenza; proprietà che vale definitivamente; Limiti di successioni; proprietà delle successioni convergenti; successioni reali divergenti; algebra dei limiti; teoremi di confronto per successioni reali; limiti di successioni monotone; il numero di Nepero e; successioni notevoli; successioni di Cauchy; criterio di Cauchy per la convergenza; condizioni sufficienti per il criterio di Cauchy.

Serie reali e complesse; convergenza in  o  ; serie divergenti; criterio di Cauchy per serie; condizioni necessarie per la convergenza; convergenza semplice e assoluta; criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, rapporto, radice, integrale; criterio di Dirichlet; serie geometrica, serie armoniche.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme; teoremi di continuita', integrabilita` e derivabilita` della funzione limite, teorema dello scambio dei limiti. Criteri di convergenza uniforme e monotonia. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale.

Serie di potenze: lemma di Cauchy-Hadamard, raggio di convergenza, criteri della radice e del rapporto per il calcolo del raggio di convergenza, regolarita` delle serie di potenze nel cerchio di convergenza. Serie di potenze e serie di Taylor. Definizione di derivata complessa. Funzioni olomorfe. Relazioni di Cauchy-Riemann. Definizione di funzione analitica e legame con le funzioni olomorfe. Esponenziale e logaritmo complesso.

Serie di Fourier. Funzioni continue e regolari a tratti. Convergenza puntuale, totale ed uniforme della serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Integrabilita` per serie di Fourier.

4. Teoria delle funzioni da  in  :

Elementi di topologia in  : insiemi aperti; insiemi chiusi; punti di accumulazione; teorema di Bolzano-Weierstrass; Funzioni limitate; estremo superiore e inferiore di una funzione di variabile reale a valore in  ;

Limiti di funzioni reali; algebra dei limiti; limiti e relazioni d'ordine; limiti e restrizioni del dominio; teorema del limite per successioni; limiti destro e sinistro;limiti di funzioni monotone; limite di composizione di funzioni; limiti di forme indeterminate; limiti notevoli. Simboli di Landau (o-piccolo, O-grande, equivalenza); uso dei simboli di Landau. Uso degli o-piccoli nel caso di cambiamenti di variabile.

Continuità; continuità per successioni; continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor; algebra delle funzioni continue; teorema di permanenza del segno; continuità della funzione composta; teorema di Weierstrass; teorema degli zeri; teorema dei valori intermedi; teorema di Bolzano; monotonia e continuità; continuità della funzione inversa. Funzioni periodiche; funzioni monotone; funzioni pari o dispari; funzioni convesse; continuità delle funzioni convesse.

Rapporto incrementale; derivata; funzione derivata; interpretazione geometrica e meccanica; derivata sinistra e destra; derivate di ordine superiore; funzioni  e  ; linearità della derivata; regola di Leibniz; derivata della funzione reciproca; derivata di  ; derivata della composizione di funzioni; derivata della funzione inversa. Funzioni elementari e loro grafici. Teorema di Rolle; lemma di Cauchy; teorema del valor medio di Lagrange; funzioni a derivata nulla; funzione primitiva; funzioni monotone e segno della derivata; teoremi di de l'Hôpital per limiti di forme indeterminate del tipo  e  ; teorema di de l'Hôpital e derivata negli estremi del dominio. Polinomio di Taylor; formula di Taylor con resti secondo Peano e secondo Lagrange; applicazioni al calcolo approssimato e allo studio dei limiti; serie di Taylor; condizioni sufficienti per la convergenza della serie di Taylor. Comportamento asintotico delle funzioni; asintoti orizzontali e obliqui; punti critici; massimi e minimi locali: definizione, condizioni necessarie; condizioni sufficienti; crescenza e decrescenza locale; punti di flesso: definizione, condizioni necessarie e condizioni sufficienti; concavità e convessità locale.

Integrazione secondo Riemann; scomposizioni; somme inferiori e superiori; condizione necessaria e sufficiente per integrabilità; funzioni monotone e integrazione; funzioni continue e integrazione; proprietà degli integrali: linearità, positività, additività; teorema della media integrale; integrabilità della funzione composta; integrabilità di funzioni discontinue in un numero finito di punti; funzione integrale; teorema fondamentale del calcolo integrale; regola di Torricelli; integrali delle funzioni elementari; integrazione per parti; teorema del cambiamento di variabile; integrazione delle funzioni razionali; integrali abeliani Integrali generalizzati secondo Riemann; proprietà degli integrali generalizzati: linearità, additività, positività; criteri di convergenza degli integrali generalizzati: Cauchy, confronto, integrale per serie.

5. Equazioni differenziali del primo ordine

Primitive e funzioni integrali; equazioni differenziali del primo ordine; problema di Cauchy; soluzione di un equazione differenziale; soluzioni massimali; integrale generale di un'equazione differenziale; risoluzione delle equazioni differenziali lineari; risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili.
 

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