Argomenti trattati a lezione

08.10.15

Presentazione del corso (programma, modalità dell'esame, esercizi settimanali, tutorato ecc.). Testo consigliato:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare. 2a ed., Zanichelli, Bologna, 2004.
Altri testi: M. Bordoni: Algebra lineare. 2a ed., Esculapio, Bologna 2015; per il modulo del prof. Negrini: S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, 2 (due volumi), Zanichelli, Bologna, 2011.
Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali e reali, rappresentazione decimale dei numeri reali, numeri complessi, definizione e operazioni aritmetiche, piano dei numeri complessi o piano di Wessel-Argand-Gauss, complesso coniugato, valore assoluto o modulo di un numero complesso e distanza fra due punti del piano complesso, esempio.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 3 (insiemi numerici), pp. 20-23 (numeri complessi).

09.10.15

Operazioni aritmetiche con i numeri complessi, costruzione astratta dei numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali, cenno ai vettori nel piano, ordine totale o ordine lineare dei numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche, proprietà del complesso coniugato di un numero complesso, radici di un polinomio a coefficienti reali sono complesse coniugate, proprietà del valore assoluto, in particolare disuguaglianza triangolare, formule risolutive per equazioni algebriche di secondo grado e di terzo grado (si veda anche G. Merlino, Equazione di terzo grado e, per la storia, D. Palladino, Alcuni momenti significativi della storia delle equazioni algebriche), impossibilità di risolvere per radicali le equazioni generali di grado superiore al quarto (N. H. Abel, E. Galois), teorema fondamentale dell'algebra (si veda la dispensa, pag. 5), molteplicità di una radice di un polinomio.
Esercizi consigliati: foglio del 10/10/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 8-10 (campi ordinati), pp. 11-12 (valore assoluto, disuguaglianza triangolare), pp. 22-25 (coniugato e modulo), p. 30 (equazione di secondo grado, teorema fondamentale dell'algebra, pp. 35-40 (vettori nel piano),

15.10.15

Richiamo sulle funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente), loro grafici, loro funzioni inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente), coordinate polari, conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa, arcotangente2, rotazione nel piano, formule di addizione per le funzioni seno e coseno.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 168-172 (funzioni trigonometriche, fenomeni vibratori), pp. 179-181 (funzioni trigonometriche inverse), pp. 471-473 (coordinate polari nel piano e coordinate sferiche nello spazio).

16.10.15

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e riduzione della potenza per le funzioni seno e coseno, numeri complessi in forma polare o trigonometrica, interpretazione geometrica della moltiplicazione di numeri complessi (roto-omotetia, si veda la dispensa di F. Lastaria, pp. 6-7), esempi, formula di de Moivre, radici n-esime, in particolare radici dell'unità e poligoni regolari, esempi, esempi di roto-omotetie usando il software Octave - l'alternativa free a MATLAB; download Octave e pacchetti da Octave-Forge), esercizio sulla distanza tra numeri complessi, intorno simmetrico (o circolare) di un numero reale e di un numero complesso, cenno alla definizione di limite di una funzione reale e limite di una funzione complessa di variabile complessa (si veda M. Frau, Analisi complessa, pp. 8-9).
Esercizi consigliati: foglio del 17/10/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 25-30 (forma trigonometrica, formula di de Moivre, radici n-esime).

22.10.15

Formula di Eulero, numeri complessi in forma esponenziale, funzione esponenziale complessa, cenno al logaritmo complesso, vettori geometrici (si veda anche il video - in lingua inglese - su YouTube), somma o risultante di vettori, poligono vettoriale, differenza di vettori, vettore nullo o vettore zero, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, regole dell'algebra vettoriale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 275-276 (esponenziale complesso, formula di Eulero), pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio).

23.10.15

Definizione di spazio vettoriale, vettori numerici o algebrici, operazioni con i vettori numerici, modulo o norma euclidea di un vettore numerico, prodotto interno o prodotto scalare, esempio introduttivo (lavoro meccanico in fisica) e definizione per vettori di Rⁿ, proprietà (o definizione assiomatica) del prodotto scalare, vettori normalizzati (versori), proiezione ortogonale di un vettore su un vettore non nullo (si veda la dispensa di T. Penati, p. 1). Esercizi sui numeri complessi e sui vettori di R² e R³.
Esercizi consigliati: foglio del 24/10/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 35-41 (vettori nel piano e nello spazio), pp. 43, 44 (prodotto scalare), pp. 57-59 (spazi vettoriali), pp. 63-65 (prodotto scalare in Rⁿ).

29.10.15

Prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di vettori dello spazio tridimensionale, "regola della mano destra", proprietà del prodotto vettoriale, determinante di ordine due, esempio (area di un triangolo con il prodotto vettoriale), prodotto misto, volume di un parallelepipedo.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 45-46 (prodotto vettoriale), pp. 47-48 (prodotto misto nello spazio tridimensionale).

30.10.15

Sottospazi vettoriali (o sottospazi lineari), loro caratterizzazione ed esempi, equazioni cartesiane e parametriche di rette e circonferenze nel piano (si veda la dispensa) e di piani nello spazio tridimensionale, cenno alla parametrizzazione razionale della circonferenza, vettori e scalari e vettori ortogonali: esempio del moto circolare uniforme, cioè moto circolare con velocità angolare costante (vettore velocità tangenziale come derivata del vettore posizione, moduli di questi vettori), vettore normale ad una retta nel piano e vettore normale ad un piano nello spazio, equazioni di rette nel piano e di piani nello spazio nella forma normale di Hesse (Ludwig Otto Hesse), distanza di un punto da una retta nel piano e di un punto da un piano nello spazio, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 31/10/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, p. 60 (sottospazio vettoriale), pp. 48-55 (geometria analitica lineare nello spazio).

05.11.15

Intersezione di sottospazi vettoriali, span (copertura) lineare o sottospazio generato da una famiglia di vettori, famiglia di vettori linearmente indipendente e linearmente dipendente, esempi in R² e in R³, base e dimensione di uno spazio vettoriale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 41-43, 60-63 (combinazioni lineari di vettori, indipendenza lineare, base e dimensione).

06.11.15

Base e dimensione di uno spazio vettoriale, coordinate (o componenti scalari) di un vettore rispetto ad una base, esempi, in particolare scomposizione di un vettore lungo due direzioni assegnate, base canonica di Rⁿ, definizione assiomatica del prodotto scalare (risp. prodotto hermitiano) come forma bilineare (risp. sesquilineare) simmetrica (risp. hermitiana) definita positiva, spazio euclideo (risp. hermitiano o prehilbertiano), prodotto scalare standard di Rⁿ (risp. prodotto hermitiano standard di Cⁿ), norma indotta da un prodotto scalare (risp. hermitiano), vettori normalizzati (versori), distanza indotta da una norma, vettori ortogonali, vettori ortonormali, basi ortonormali, disuguaglianza di Cauchy-Buniakovskii-Schwarz, angolo tra due vettori di Rⁿ, esempio, esempio per la costruzione di una base da una famiglia di generatori di un sottospazio di Rⁿ (metodo di eliminazione di Gauss: riduzione a scala per righe di una matrice eseguendo operazioni elementari sulle righe della matrice).
Esercizi consigliati: foglio del 07/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 63-65 (prodotto scalare, norma o modulo, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, distanza).

12.11.15

Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (J. P. Gram, 1850-1916; E. Schmidt, 1876-1959), esempio per la costruzione di una base ortonormale. Trasformazioni lineari e matrici: definizione di funzione, trasformazione, applicazione lineare o omomorfismo, esempi di trasformazioni lineari (funzioni lineari reali di una variabile reale, rotazione del piano) e non esempio (funzione lineare affine), nucleo di una trasformazione lineare, nucleo e immagine di una trasformazione lineare sono sottospazi lineari.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 66-67 (procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt), pp. 69-71 (funzioni lineari).

13.11.15

Tipi di trasformazioni lineari o omomorfismi (monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo), formula di dimensione (teorema del rango) e trasformazioni biiettive tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita, esistenza ed unicità dell'applicazione lineare, cioè le immagini dei vettori di base dello spazio di partenza determinano unicamente la trasformazione, matrice associata ad un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensioni finite, definizione di matrice, vettore riga, vettore colonna, algebra delle matrici: uguaglianza, somma, differenza, matrice zero, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto di matrici conformabili, esempi, in particolare non commutatività del prodotto matriciale, divisori dello zero, matrice associata alla composizione di trasformazioni lineari, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 14/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-81 (algebra delle matrici, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), pp. 100-103 (immagine e nucleo di una trasformazione lineare, formula di dimensione).

19.11.15

Richiamo sulla rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita, matrice della trasformazione identica, cioè matrice identità, trasformazione lineare associata ad una matrice, la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo di spazi vettoriali, matrici associate ad un isomorfismo di spazi vettoriali di dimensione finita, cioè matrici invertibili, l'inversa di una matrice invertibile, la matrice associata alla trasformazione inversa di una trasformazione lineare è l'inversa della matrice della trasformazione, esempio.

20.11.15

Matrici elementari e loro inverse, esempi, proprietà di matrici invertibili, cenno al gruppo generale lineare, matrice trasposta e sue proprietà, matrice simmetrica, matrice contragrediente di una matrice invertibile, rango o caratteristica di una matrice come il massimo numero di colonne della matrice che sono linearmente indipendenti, il rango è uguale al massimo numero di righe linearmente indipendenti (senza dimostrazione), matrici quadrate sono invertibili se e solo se hanno rango massimo, calcolo dell'inversa di una matrice invertibile con l'algoritmo di Gauss-Jordan utilizzando moltiplicazioni dalla sinistra con matrici elementari, esempi, calcolo della dimensione e di una base dello spazio lineare generato dalle righe di una matrice mediante l'algoritmo di Gauss, esempio.
Esercizi consigliati: foglio del 21/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 71-77 (matrici e trasformazioni linerari), pp. 78-81 (rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari), p. 103 (trasformazioni iniettive e suriettive).

26.11.15

Cambiamento di base e cambiamento delle coordinate mediante la matrice contragrediente della matrice di trasformazione dei vettori di base, esempio, cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, matrici equivalenti, la matrice "più semplice" fra le matrici equivalenti (matrice in forma canonica), esempio per la ricerca di basi negli spazi di partenza e di arrivo di una trasformazione lineare per ottenere la sua matrice rappresentativa in forma canonica (utilizzando operazioni elementari sulle righe per ottenere una matrice a scala e poi sulle colonne per ottenere la forma canonica).

27.11.15

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari con l'algoritmo di Gauss-Jordan, esempio di un sistema indeterminato e di un sistema impossibile, teorema di Rouché-Capelli (E. Rouché, 1832-1910; A. Capelli, 1855-1910), sistema omogeneo associato e dimensione dello spazio vettoriale delle sue soluzioni (spazio nullo), spazio (affine) delle soluzioni del sistema non omogeneo, soluzioni di un sistema non omogeneo come somma di una soluzione particolare e della soluzione "generale" del sistema omogeneo associato (si veda la dispensa, pag. 24), definizione assiomatica del determinante secondo Weierstrass come funzione lineare, alternante e normalizzata delle righe di una matrice quadrata, esistenza e unicità, calcolo del determinante mediante lo sviluppo di Laplace, esempi.
Esercizi consigliati: foglio del 28/11/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 96-106 (sistemi lineari), pp. 81-88 (determinante).

03.12.15

Calcolo della matrice inversa di una matrice quadrata non singolare con il metodo della matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici o aggiunti), esempio, proprietà elementari del determinante ed esempi, in particolare: determinante della trasposta di una matrice, determinante di una matrice triangolare, calcolo del determinate con l'algoritmo di Gauss eseguendo operazioni elementari sulle righe o colonne della matrice. Compilazione dei questionari sulla valutazione della didattica.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 81-86 (determinante), pp.89-92 (matrice inversa).

04.12.15

Teorema di Binet (J. Binet, 1786-1856), regola di Cramer, esempio, richiamo sul cambiamento di base di spazi vettoriali di dimensione finita e la formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare, formula di trasformazione per la matrice rappresentativa di un endomorfismo, matrici simili, invarianza del determinante per similitudine, autovalori e autovettori di un endomorfismo di uno spazio vettoriale e di una matrice quadrata, autospazio relativo a un autovalore, autospazi relativi ad autovalori distinti hanno solo il vettore nullo in comune, autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, endomorfismo (e matrice) diagonalizzabile, polinomio caratteristico di una matrice quadrata, polinomio caratteristico di un endomorfismo (invarianza del polinomio caratteristico per similitudine), esempio per la diagonalizzazione di una matrice quadrata e il calcolo della matrice di passaggio dalla base canonica alla base formata di autovettori.
Esercizi consigliati: foglio del 05/12/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 109-115 (matrici diagonalizzabili, autovalori ed autovettori di una matrice, condizioni di diagonalizzabilità).

10.12.15

La dimensione dell'autospazio di un autovalore (ossia la sua molteplicità geometrica) non supera la sua molteplicità algebrica (dimostrazione), teorema di diagonalizzabilità, esempio di una matrice non diagonalizzabile ("blocco di Jordan"), definizione di endomorfismo ortogonale/unitario e sue proprietà elementari, definizione di matrice ortogonale e sue proprietà, definizione di matrice unitaria e sue proprietà, esempi: matrici ortogonali di ordine due (pag. 2 del documento linkato), matrici di Pauli.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 115-116 (diagonalizzabilità), pp. 117-118 (proprietà delle matrici ortogonali).

11.12.15

Rappresentazione matriciale di endomorfismi ortogonali o unitari, autovalori di matrici ortogonali o unitarie hanno valore assoluto uno, esempi (rotazione e riflessione del piano), definizione di endomorfismo autoaggiunto di uno spazio euclideo o di uno spazio unitario (detto anche spazio prehilbertiano o spazio hermitiano), endomorfismi autoaggiunti hanno (sia nel caso reale che complesso) autovalori reali ed autospazi ortogonali, definizione di matrice simmetrica e matrice hermitiana, matrice rappresentativa di un endomorfismo autoaggiunto rispetto ad una base ortonormale, teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di spazi vettoriali reali o complessi muniti di un prodotto scalare e di dimensione finita, cioè una matrice reale simmetrica o una matrice hermitiana è diagonalizzabile con una matrice di passaggio ortogonale o unitaria, teorema spettrale per matrici normali, osservazioni e richiami vari: coefficienti del polinomio caratteristico (con segno alternato) come somme dei minori diagonali (pag. 124 del documento linkato) di ordine fissato, rotazioni dello spazio, formule di Viète.
Esercizi consigliati: foglio del 12/12/2015.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 76-77 (rotazione nel piano), p. 113, Esempio 6.2 (rotazione per 90 gradi), pp. 117-120 (matrici reali simmetriche, rotazioni dello spazio).

17.12.15

Esempio di una diagonalizzazione di un endomorfismo di R³ rappresentato da una matrice simmetrica e ortogonale, calcolo degli autovalori e di basi ortonormali degli autospazi, descrizione geometrica dell'endomorfismo come rotazione dello spazio, determinazione dell'asse di rotazione (autospazio rispetto all'autovalore uno) e dell'angolo di rotazione, costruzione di una base ortonormale di R³ composta di autovettori, matrice (ortogonale) di passaggio dalla base di autovettori alla base canonica e sua inversa.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 120-121 (rotazioni dello spazio).

18.12.15

Richiamo sulla formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di n variabili reali, studio della natura dei punti critici mediante la matrice hessiana della funzione nel punto critico che può risultare definita positiva (punto di minimo), definita negativa (punto di massimo), indefinita (punto di sella) o semidefinita ma non definita (non permette una decisione), caratterizzazione delle matrici (reali simmetriche) definite positive mediante la positività degli autovalori, esempio per la classificazione dei punti critici di una funzione di tre variabili reali.
Esercizi consigliati: foglio del 19/12/2015.
Problema natalizio: Quanti triangoli ci sono?

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 439-441 (formula di Taylor al secondo ordine), pp. 444-450 (forme quadratiche, segno di una forma quadratica e autovalori, studio della natura dei punti critici), p. 453, Esempio 6.9.

07.01.16

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: autovalori e autovettori, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, equazione di secondo grado a coefficienti complessi, classificazione dei punti critici di una funzione di due variabili reali, ricerca del minimo e massimo di una funzione di due variabili reali in un dominio chiuso e limitato.

08.01.16

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: algoritmo di Gauss-Jordan per risolvere sistemi lineari, diagonalizzazione di una matrice reale e simmetrica con una matrice di passaggio ortogonale di determinante uno, ricavare l'angolo della rotazione definita dalla matrice ortogonale.

Lettura consigliata: Bramanti-Pagani-Salsa, pp. 117-120 (matrici reali simmetriche, rotazioni nello spazio).

14.01.16

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: teorema di diagonalizzabilità, calcolare il rango di una matrice, determinare una base ortonormale di un autospazio, diagonalizzare una matrice quadrata e calcolare la matrice di passaggio dalla base canonica alla base formata di autovettori, diagonalizzabilità di una matrice triangolare.

15.01.16

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: calcolo di autovalori e autovettori reali e complessi, basi ortonormali di autospazi, diagonilizzazione di una matrice hermitiana con una matrice di passaggio unitaria.

21.01.16

Discussione di esercizi sui seguenti argomenti: rotazioni nel piano e nello spazio, ricavare l'angolo della rotazione definita da una matrice ortogonale di determinante uno usando la traccia o gli autovalori della matrice, diagonalizzazione di una matrice reale simmetrica con una matrice di rotazione.

last updated 21st January 2016 Rüdiger Achilles