1> a = [2 -1 2; -1 2 -2 ; 2 -2 5]
a =

   2  -1   2
  -1   2  -2
   2  -2   5



2> % la matrice a e' simmetrica, cioe' coincide con la sua trasposta a'

2> a'
ans =

   2  -1   2
  -1   2  -2
   2  -2   5



3> % con il comando eig calcoliamo una matrice X e una matrice diagonale Lambda
% le colonne di X sono gli autovettori (normalizzati) di a 
% gli elementi sulla diagonale principale di Lambda sono gli autovalori di a


3> [X, Lambda] = eig(a)
X =

   0.32965   0.85127   0.40825
  -0.76815   0.49324  -0.40825
  -0.54890  -0.17902   0.81650

Lambda =

Diagonal Matrix

   1.00000         0         0
         0   1.00000         0
         0         0   7.00000



4> % abbiamo calcolato a mano il seguente autovettore relativo all'autovalore 7:


4> x3 = [1 -1 2]/sqrt(6)
x3 =

   0.40825  -0.40825   0.81650



5> % x3 come vettore colonna:

5> x3 = [1; -1; 2]/sqrt(6)
x3 =

   0.40825
  -0.40825
   0.81650



6> X(:,3) %terza colonna di X che coincide con x3 (calcolato a mano)
ans =

   0.40825
  -0.40825
   0.81650



7> x1 = X(:,1)
x1 =

   0.32965
  -0.76815
  -0.54890



8> norm(x1)
ans =  1


9> x2 = X(:,2)
x2 =

   0.85127
   0.49324
  -0.17902



10> norm(x2)
ans =  1


11> x1' * x2   % prodotto scalare che dovrebbe essere 0
ans = 7.4281e-017


12> dot(x1,x2)  % lo stesso prodotto scalare calcolato con il comando dot
ans = 9.7145e-017


13> a * X
ans =

   0.32965   0.85127   2.85774
  -0.76815   0.49324  -2.85774
  -0.54890  -0.17902   5.71548



14> X * Lambda  % che deve coincidere con  a * X
ans =

   0.32965   0.85127   2.85774
  -0.76815   0.49324  -2.85774
  -0.54890  -0.17902   5.71548



15> % X e' una matrice ortogonale, cioe'  X * X'  e' la matrice indentita'


15> X * X'
ans =

  1.0000e+000  -2.9992e-017  -6.4754e-017
  -2.9992e-017  1.0000e+000  2.2470e-017
  -6.4754e-017  2.2470e-017  1.0000e+000



16> X' * X     % deve essere anche la matrice identita'
ans =

  1.0000e+000  7.4281e-017  -4.5320e-017
  7.4281e-017  1.0000e+000  -2.2673e-017
  -4.5320e-017  -2.2673e-017  1.0000e+000



17> inv(X)     % deve coincidere con la trasposta X'
ans =

   0.32965  -0.76815  -0.54890
   0.85127   0.49324  -0.17902
   0.40825  -0.40825   0.81650



18> X'
ans =

   0.32965  -0.76815  -0.54890
   0.85127   0.49324  -0.17902
   0.40825  -0.40825   0.81650



19> % esempio di una matrice b che Octave non riesce a identificare come
% matrice singolare: il determinante di b e' ovviamente zero poiche'
% la somma della seconda e della quarta riga e' un multiplo della terza riga,
% ma det(b) non e' molto grande (in valore assoluto)


19> b = [40000120 0 0 0; 0 8e7  -12e4 4e7; 0 -12e4 240 -12e4; 0 4e7 -12e4 8e7]
b =

   40000120          0          0          0
          0   80000000    -120000   40000000
          0    -120000        240    -120000
          0   40000000    -120000   80000000



20> det(b)
ans = -1.3642e+009


21> % anche il calcolo del minore 3 x 3 (che serve  nello sviluppo di Laplace
% secondo la prima colonna di b) fallisce:

21> c = b(2:4,2:4)
c =

   80000000    -120000   40000000
    -120000        240    -120000
   40000000    -120000   80000000



22> det(c)
ans = -34.106


23> quit