1> A = [5 2; 2 -3]
A =

   5   2
   2  -3



2> % la matrice A e' simmetrica, cioe' coincide con la sua trasposta A.'


2> A.'
ans =

   5   2
   2  -3



3> % plottiamo la circonferenz unitaria x = [x1; x2] e la sua immagine affine


3> % y = A * x che e' un'ellisse


3> t = linspace(0, 2* pi); x1 = cos(t); x2 =sin(t);


4> plot(x1, x2); hold on;


5> x = [x1; x2];


6> y = A * x;


7> size(y)
ans =

     2   100



8> plot(y(1, :), y(2, :), 'r'); axis equal;


9> % inseriamo nella figura autovettori di A (sono le colonne della


9> % matrice autvett ottenuta con [autvett, la] = eig(A))


9> [autvett, la] = eig(A)
autvett =

   0.22975  -0.97325
  -0.97325  -0.22975

la =

Diagonal Matrix

  -3.4721        0
        0   5.4721



10> % moltiplichiamo gli autovettori normalizzati con gli autovalori


10> % corrispondenti in modo da ottenere autovettori le cui lunghezze


10> % sono semiassi dell'ellisse


10> autvett1 = la(1,1) * autvett(:,1)
autvett1 =

  -0.79773
   3.37925



11> autvett2 = la(2,2) * autvett(:,2)
autvett2 =

  -5.3258
  -1.2572



12> plot([0, autvett1(1)], [0, autvett1(2)],'k')


13> plot([0, autvett2(1)], [0, autvett2(2)],'g')


14> % il raggio spettrale di A e' la lunghezza dell'autovettore verde


14> % ed e' uguale al massimo modulo di un autovalore di A


14> % o equivalentamente, alla radice quadrata del massimo autovalore 


14> di A.' * A = A^2


14> % aggiugiamo alla figura una circonferenza di centro O e di


14> % raggio uguale al raggio spettrale di A; tale raggio e la norma


14> % spettrale di A poiche' A e' simmetrica


14> plot(la(2,2) * x1, la(2,2) * x2,'g'); axis equal;


15> % trattiamo ora il caso di una matrice A non simmetrica


15> A = [2 5; -3 5]
A =

   2   5
  -3   5



16> x = [x1; x2];


17> y = A * x;


18> [autvett, la] =eig(A)
autvett =

   0.79057 + 0.00000i   0.79057 - 0.00000i
   0.23717 + 0.56458i   0.23717 - 0.56458i

la =

Diagonal Matrix

   3.5000 + 3.5707i                  0
                  0   3.5000 - 3.5707i



19> % gli autovalori e gli autovettori di A non sono reali


19> % un plot ci farebbe vedere le loro parti reali


19> % rinunciamo a visualizzare gli autovettori


19> % visualizziamo invece l'immagine affine della circonferenza unitaria


19> % e una circonferenza di raggio uguale alla norma spettrale di A


19> hold off;


20> plot(x1, x2); hold on;


21> plot(y(1, :), y(2, :),'r');


22> % la norma spettrale di A e' la radice quadrata del massimo autovalore


22> % della matrice simmetrica e definita positiva  A' * A


22> raggio_spett = sqrt(max(eig(A' * A)))
raggio_spett =  7.1178


23> plot(raggio_spett * x1, raggio_spett * x2, 'g');


24> axis equal;


25> quit