Funzione degli errori e suoi sviluppi asintotici

Riferimento : Matematica per l' Ingegneria dell' Informazione, par. 2.4 (esercizi 2.4-6, 2.4-7)

Clear["Global`"]

gr1 = Plot[Erf[x], {x,0.,3}, PlotRange->{0,1.5},PlotStyle->{Thickness[0.01],RGBColor[1,0,0]}]

Sviluppo asintotico per valori prossimi a 0

p[n_,x_]:= 2/Sqrt[Pi] Sum[(-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)*k!), {k,0,n}]

Ad esempio:

p[2,x]

Alcuni grafici:

gr2 = Plot[{p[0,x],p[1,x],p[2,x],p[3,x],p[4,x]},
 {x,0,2}, PlotRange->{0,1.5}]

Show[ gr1,gr2]

Sviluppo asintotico per valori grandi

s[n_,x_]:=1-Exp[-x^2]/Sqrt[Pi] (1/x - Sum[(-1)^k(2k-1)!!/(2^k* x^(2k+1)),{k,1,n}])

Ad esempio:

s[2,x]

gr3=Plot[{s[1,x],s[2,x],s[3,x],s[4,x]},{x,0.5`,3},PlotRange->{0,1.5}]

Show[gr1,gr3]

Table[Plot[s[n,x], {x,0.5,3}, PlotRange->{0,1.5}],{n,1,4}]