Convoluzione: densità di probabilità di tipo normale

Clear["Global`"]

Introduciamo la densità della v.a. normale di media μ e deviazione standard σ:

f[μ_, σ_, x_] :=  
      1/(Sqrt[
                2  π] σ) Exp[-(x - μ)^2/(2 σ^2)]

Tracciamo un grafico:

Plot[
        f[0.5,  0.3,  x],  {x, -2, 
          2}, 
PlotRange ->  All];

Scegliamo due densità, ad esempio:

(Subscript[f, 1])[x_] := f[0.5,  0.3,  x]

(Subscript[f, 2])[x_] := f[1,  0.5,  x]

Sappiamo dalla teoria che la loro convoluzione è data dalla densità di media

0.5  + 1

e deviazione standard

Sqrt[0.3^2  +  0.5^2]

Dunque:

conv[x_] :=  f[1.5, 0.58309518948453, x]

grConv  =  
        Plot[{(Subscript[f, 1])[x], conv[x]}, {x, -3, 
            4}, 
PlotRange -> 
            All, 
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0.5, 
                0], {Thickness[0.005], RGBColor[0, 0, 1]}}];

Facciamo un'animazione:

Do[gr  =  
        Plot[{ (Subscript[f, 2])[x - ξ],  
            (Subscript[f, 1])[ξ]* (Subscript[f, 2])[x - ξ]},  {ξ, -3, 
            4}, 
PlotStyle -> {
{RGBColor[1, 0, 1]}, {Thickness[0.008], 
                RGBColor[1, 0, 
                  0]}}, 
DisplayFunction -> 
            Identity]; 
punti  =  
        Graphics[{PointSize[0.02],  
            RGBColor[0, 0, 1], {Point[{x, 0}], 
              Point[{x, conv[x]}]}}]; 
segmento  =  
        Graphics[{Thickness[0.003],  RGBColor[0, 0, 1], 
            Line[{{x, 0}, {x, conv[x]}}]}]; 
Show[{grConv, 
          gr, punti,  segmento}, 
        DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
AspectRatio -> 
          0.4, 
PlotRange -> {0, 
            1.5}, 
ImageSize -> {450, 
            250}], {x, -1, 4, 0.05}]

Come nel notebook Convoluzione-1, la curva rossa mostra il prodotto (Subscript[f, 1])(ξ) (Subscript[f, 2])(x - ξ), la curva blu mostra la convoluzione tra  (Subscript[f, 1]) e (Subscript[f, 2]), cioè per ogni x (pallino blu sull'asse delle ascisse), l'ordinata del pallino blu sulla curva mostra il valore dell'area sottesa dalla curva rossa.