Convoluzione con un impulso unitario di durata ad arbitrio

Clear["Global`"]

La convoluzione della funzione f con la funzione (Subscript[δ, h])(t) che vale 1/h sull'intervallo [0, h] e 0 fuori dello stesso intervallo; si riduce alla media integrale di f sull'intervallo [x-h, x]. Prendiamo una funzione nulla per x ≤ 0, ad esempio la funzione nulla per x ≤ 0 e uguale a sin x per x ≥ 0.

sinZero[x_]  :=  If[x ≤ 0, 0, Sin[x]]

La convoluzione tra le due funzioni considerate è nulla per x negativo, si scrive:

Integrate[Sin[t],  {t, 0, x}]/
      h

per 0 ≤ x ≤ h e finalmente vale

Integrate[Sin[t],  {t, x - h, x}]/
      h

espressione che trasformiamo in

(((-Cos[x] + Cos[h] Cos[x] + Sin[h] Sin[x]))/h)

Definiamo dunque

conv[x_, h_]  :=  
      Which[x ≤ 0, 0, 0 < x  ≤ h, ((1 - Cos[x])/h),  
        h < x, (-Cos[x] + Cos[h] Cos[x] + Sin[h] Sin[x])/
          h]

Un grafico di prova:

Plot[{sinZero[x], conv[x,  .5]},  {x, -1,  
          7}, 
PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0], 
              Thickness[0.01]}, {RGBColor[0, 0, 1], 
              Thickness[0.01]}}];

Facciamo variare h :

Do[
        Plot[{sinZero[x], conv[x, h]},  {x, -1,  
            7}, 
PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0], 
                Thickness[0.01]}, {RGBColor[0, 0, 1], 
                Thickness[0.01]}}], 
{h, 0.1, 1.5, 
          0.1}];