Appendice 8-A. Calcolo del laplaciano

ClearAll["Global`"]

Coordinate polari

Calcoliamo in laplaciano in coordinate polari:

r[x_, y_] := Sqrt[x^2 + y^2]

ϕ[x_, y_] := ArcTan[x, y]

Qualche verifica:

D[r[x, y], y]

D[r[x, y], x]

D[ϕ[x, y], x]

D[ϕ[x, y], y]

Sia v una funzione di r e ϕ; esprimiamola come funzione di x e y mediante le coordinate polari introdotte:

u[x_, y_]:= v[
        r[x, y], ϕ[x, y]]

Calcoliamo il laplaciano di u:

D[u[x, y], {x, 2}] + D[u[x, y], {y, 2}] // Simplify

Semplifichiamo in due passi:

% /. {(x^2) + (y^2) -> r^2,  
        ArcTan[x, y] -> ϕ}

Simplify[%,  r > 0]

Apart[%]

Applichiamo nuovamente la funzione Apart (in situ) al primo addendo:

((Derivative[0, 2][v][r, ϕ])/((r^2)))+((Derivative[1, 0][v][r, ϕ])/r)+Derivative[2, 0][v][r, ϕ]

Verifica (rispetto alla notazione tradizionale) per quanto riguarda i termini contenenti le derivate rispetto a r :

(1/r)* D[r Derivative[1, 0][v][r, ϕ],r]

Apart[%]

Commmento: OK

r =. ; ϕ =. ; u =. ; v =.

Coordinate sferiche

r[x_, y_, z_] := Sqrt[x^2 + y^2 + z^2]

ϕ[x_, y_, z_] := ArcTan[x, y]

θ[x_, y_, z_] := ArcCos[z/Sqrt[x^2 + y^2 + z^2]]

u[x_, y_, z_]:= v[
        r[x, y, z], ϕ[x, y, z], θ[x, y, z]]

lapla  =  
        D[u[x, y, z], {x, 2}] + D[u[x, y, z], {y, 2}] + 
          D[u[x, y, z], {z, 2}];

lapla /. {(x^2) + (y^2) + (z^2) -> r^2,  
          ArcTan[x, y] -> ϕ,  
          ArcCos[z/Sqrt[x^2 + y^2 + z^2]] -> θ};

Simplify[%,  r > 0]

Semplifichiamo in varie tappe:

% /. (r^2 - z^2)^Rational[n_, 2] ->  
        r^n  Sin[θ]^n

% /. {(x^2) + (y^2) + (z^2) -> 
          r^2,  -(x^2) - (y^2) - (z^2) ->  -r^2}

% /. (x^2) + (y^2) -> r^2 - (z^2)

% /. r^2 - z^2 ->  r^2 Sin[θ]^2

lapla  =  Expand[%]

Coefficient[%, Derivative[0, 0, 1][v][r, ϕ, θ]]

Simplify[%]

% /. r^2 - z^2 ->  r^2 Sin[θ]^2

% /. z ->  r Cos[θ]

Coefficient[lapla, Derivative[0, 0, 2][v][r, ϕ, θ]]

Simplify[%]

% /. r^2 - z^2 ->  r^2 Sin[θ]^2

Commento : CVD!