Funzione derivata

Riferimento:
G.C. Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica
Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0, Figura 4.1-2

Scopo di questo notebook è quello di illustrare geometricamente la costruzione della funzione derivata di una funzione data, nel caso in esame la funzione seno.

Clear["Global`*"]

Animazione:

Do[
grafico = Plot[{Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, x}, 
	PlotStyle -> {{GrayLevel[0.7],Thickness[0.005]}, RGBColor[0,0,1]}, 
    AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> {500, 200}, 
    PlotRange -> {{-1, 7}, {-1.5, 1.5}}, 
     DisplayFunction -> Identity]; 
     punto1 = 
    	Graphics[{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.015], Point[{x,Sin[x]}]}]; 
     punto2 = 
   		Graphics[{RGBColor[0,0,1], PointSize[0.015], Point[{x, Cos[x]}]}]; 
     linea1 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005], 
      	Line[{{x-1/2, Sin[x]-Cos[x]/2}, {x+1/2, Sin[x]+Cos[x]/2}}]}]; 
     linea2 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005],
     	Line[{{-1,0}, {0,Cos[x]}}]}]; 
     linea3 = Graphics[{RGBColor[0,0,1], Line[{{0,Cos[x]}, {x,Cos[x]}}]}]; 
     linea4 = Graphics[{RGBColor[0,1,0], Line[{{x,Cos[x]},{x,Sin[x]}}]}];
     Show[{grafico, punto1, punto2, linea1, linea2, linea4,linea3}, 
    DisplayFunction -> $DisplayFunction], {x, 0.01, 6.4, 0.1}]

Commento: i due segmenti rossi sono paralleli.

Un esempio realativo ad un polinomio cubico:

p[x_] := 2  x - 3  x^2 + x^3

p1[x_] := 2  -  6  x  +  3  x^2

Do[grafico = Plot[{p[t], p1[t]}, {t, -0.01, x}, 
PlotStyle -> {{GrayLevel[0.5],Thickness[0.005]}, RGBColor[0,0,1]}, 
     AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> {450,450}, 
     PlotRange -> {{-1.5, 2.5},{-1.5, 2.5}}, 
     DisplayFunction -> Identity]; punto1 = 
    Graphics[{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.015], Point[{x, p[x]}]}]; 
   punto2 = Graphics[{RGBColor[0,0,1], PointSize[0.015], Point[{x, p1[x]}]}]; 
   linea1 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005], 
      Line[{{x-1/2, p[x]-p1[x]/2}, {x+1/2, p[x]+p1[x]/2}}]}]; 
   linea2 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005], Line[{{-1,0}, {0, p1[x]}}]}]; 
   linea3 = Graphics[{RGBColor[0,0,1], Line[{{0, p1[x]}, {x, p1[x]}}]}]; 
   linea4 = Graphics[{RGBColor[0,1,0], Line[{{x, p1[x]}, {x, p[x]}}]}]; 
   Show[{grafico, punto1, punto2, linea1, linea2, linea4, linea3}, 
    DisplayFunction -> $DisplayFunction], {x, 0, 2., 0.05}]

Un esempio di polinomio quadratico. Ridefiniamo p e p1:

p[x_] := 2 - 3 x + (x^2)

p1[x_] := -3  +  2  x

Do[grafico = Plot[{p[t], p1[t]}, {t, -0.01, x}, 
PlotStyle -> {{GrayLevel[0.5],Thickness[0.005]}, RGBColor[0,0,1]}, 
     AspectRatio -> Automatic, ImageSize -> {400, 450}, 
     PlotRange -> {{-1.5, 2.5},{-3, 2.}}, 
     DisplayFunction -> Identity]; punto1 = 
    Graphics[{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.015], Point[{x, p[x]}]}]; 
   punto2 = Graphics[{RGBColor[0,0,1], PointSize[0.015], Point[{x, p1[x]}]}]; 
   linea1 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005], 
      Line[{{x-1/2, p[x]-p1[x]/2}, {x+1/2, p[x]+p1[x]/2}}]}]; 
   linea2 = Graphics[{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.005], Line[{{-1,0}, {0, p1[x]}}]}]; 
   linea3 = Graphics[{RGBColor[0,0,1], Line[{{0,p1[x]}, {x, p1[x]}}]}]; 
   linea4 = Graphics[{RGBColor[0,1,0], Line[{{x,p1[x]}, {x, p[x]}}]}]; 
   Show[{grafico, punto1, punto2, linea1, linea2, linea4, linea3}, 
    DisplayFunction -> $DisplayFunction], {x, 0, 2.5, 0.05}]