Funzioni esponenziali

Riferimento:
G.C. Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica
Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0, figura 2.3-12, esempio 4.1-3

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Questo notebook intende mostrare la costanza della sottotangente relativamente alle funzioni esponenziali  x -> (a^x). La sottotangente è la lunghezza del segmento che ha come estremi l'intersezione tra la tangente al grafico di una funzione e l'asse delle ascisse e la proiezione sul medesimo asse del punto di tangenza. Indichiamo la sottotangente relativa al punto x col simbolo st(x). Nel caso della funzione esponenziale si ha
	\(TraditionalForm\`\(		
      a\^x\/\(st(x)\)\  = \ Da\^\(x \)\)\)
e quindi, se st(x) è costante, si ha la proporzionalità tra la derivata di (a^x) e il valore della stessa funzione (a^x):
	(Da^x) =  c(a) (a^x) . 
Il valore di questa costante (pari al reciproco della sottotangente) non è altro che la derivata calcolata per  x = 0. Il numero e risponde alla domanda: come deve essere scelto a affinché la costante di proporzionalità valga 1?  In tal caso la sottotangente vale costantemente 1.
Nell'animazione seguente suggeriamo di usare valori della base a compresi tra 2 e 3.

a = 2.5

Do[
grafico = Plot[a^x, {x, -3., 2.5}, 
	PlotStyle -> {GrayLevel[0.4],Thickness[0.005]}, 
    AspectRatio -> Automatic, 
    ImageSize -> {500, 400}, 
    PlotRange -> {{-3, 3}, {-.5, 7}}, 
     DisplayFunction -> Identity]; 
     punto1 = 
    	Graphics[{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.02], 	 			Point[{x-1/Log[a],0}]}]; 
     punto2 = 
   		Graphics[{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.02], 
   		Point[{x, 0}]}]; 
     linea = Graphics[{RGBColor[0,0,1], Thickness[0.007], 
      	Line[{{x,0}, {x,a^x},
      	      {x-1/Log[a],0},{x,0}}]}]; 
     Show[{grafico, linea, punto1, punto2}, 
    DisplayFunction -> $DisplayFunction], 
    {x, -1, 1.8, 0.05}]