Limiti di successioni

Giulio C. Barozzi
CIRAM - Università di Bologna

Riferimento: G.C. Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica
Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN 88-08-01169-0, par.3.2, 3.3, 3.4

Lo scopo didattico di questo notebook è quello di illustrare il concetto di limite di una successione mostrando la stabilizzazione progressiva delle cifre decimali; tutto ciò assieme ai diagrammi a barre e diagrammi a punti.

ClearAll["Global`*"]

Costruzione diagrammi a barre:

\(diagBarre[lista_List, \ n_:  1] := 
	
      Module[{nm1\  = \ 
            n - 1}, 
		Show[
			Table[
				Graphics[{Thickness[
                  0.009], 
                RGBColor[1, 0, 
                  0], 
						Line[{{i + nm1, 0}, {i + nm1, 
                      lista[\([i]\)]}}]}
					], \ {i, 
              Length[lista]}
				], 
				PlotRange -> {{0, 
                Length[lista] + 1}, \ {0, 
                Max[lista] + 1}}, 	
			Ticks -> {Automatic, 
              Range[Ceiling[Max[lista]]]}, 
			 (*\ 
            da\ adattare\ ogni\ volta\ *) 
				Axes -> 
            True, 
				AxesOrigin -> {0, 0}, 
          ImageSize -> {480, 300}, 
          TextStyle -> {\ 
              FontSize -> 24}
				]
		]\)

Commento: i colori e le dimensioni dei font sono stati scelti per una presentazione su video. Per una presentazione su monitor possono essere cambiati.

Costruzioni di diagrammi a punti:

\(diagPunti[lista_List, \ n_:  1] := 
	
      Module[{t, \ nm1\  = \ n - 1}, 
		Show[
          Graphics[{AbsoluteThickness[0.5], 
			t\  = \ 
                Table[Line[{{i + nm1, 0}, {i + nm1, lista[\([i]\)]}}], \ {i, 
                    Length[lista]}], 
					PointSize[0.018], 
              RGBColor[1, 0, 
                0], \ \(Point[#[[\(-1\), \(-1\)]]\ ] &\) /@ \ t}], 
				Axes -> 
            True, 
				AxesOrigin -> {0, 
              0}
				]
		]\)

Rettangoli di sfondo per l'animazione delle successioni:

\(\(rettangoli\  = \ {{RGBColor[1, 1, 0], 
            Polygon[{{0, 0}, {11.2, 0}, {11.2, 1}, {0, 1}}]}, 
	{RGBColor[
              0, 1, 0], 
            Polygon[{{ .1,  .1}, {1.1,  .1}, {1.1,  .9}, { .1,  .9}}]}};\)\)

Successione dei rapporti tra numeri di Fibonacci

Consideriamo alcuni termini della successione formata dai rapporti tra ciascun numero di Fibonacci e il precedente:

listaFibo  =  N[NestList[(1 + 1/#) &, 1, 43], 17];

diagBarre[listaFibo];

In alternativa

listaFiboDue  =  N[NestList[(1 + 1/#) &, 1, 30]];

diagPunti[listaFiboDue];

\(\(Do[
        Show[Graphics[{rettangoli, \ 
              Text[StyleForm[ToString[n], FontSize -> 36], {1.1,  .5}, {1, 
                  0}], 
		Text[
                StyleForm[ToString[listaFibo[\([n]\)]], 
                  FontSize -> 36], {1.5,  .5}, {\(-1\), 
                  0}]}, 
		AspectRatio -> 
              Automatic, 
		ImageSize -> {480, 48}]], {n, 
          43}];\)\)

Il limite e' il "numero d'oro" (sezione aurea)

N[(1 + Sqrt[5])/2, 17]

Radice n-sima di 2

Alcuni termini della successione radice n-sima di 2:

rad2  =  N[Table[2^(1/n), {n, 45}], 17];

diagBarre[rad2];

\(\(Do[
        Show[Graphics[{rettangoli, \ 
              Text[StyleForm[ToString[n], FontSize -> 36], {1.1,  .5}, {1, 
                  0}], 
		Text[
                StyleForm[ToString[rad2[\([n]\)]], 
                  FontSize -> 36], {1.5,  .5}, {\(-1\), 
                  0}]}, 
		AspectRatio -> 
              Automatic, 
		ImageSize -> {480, 48}]], {n, 
          45}];\)\)

Radice n-sima di n

Alcuni termini della successione radice n-sima di n:

radn = N[Table[n^(1/n), {n, 45}], 17];

diagBarre[radn];

\(\(Do[
        Show[Graphics[{rettangoli, \ 
              Text[StyleForm[ToString[n], FontSize -> 36], {1.1,  .5}, {1, 
                  0}], 
		Text[
                StyleForm[ToString[radn[\([n]\)]], 
                  FontSize -> 36], {1.5,  .5}, {\(-1\), 
                  0}]}, 
		AspectRatio -> 
              Automatic, 
		ImageSize -> {480, 48}]], {n, 
          45}];\)\)

Numero  e

Consideriamo due successioni convergenti al numero e:

numeroEinf  =  N[Table[(1 + 1/n)^n, {n, 45}]];

numeroEsup  =  
        N[Table[(1 + 1/n)^(n + 1), {n, 45}]];

gr1  =  diagBarre[numeroEinf];

gr2  =  diagBarre[numeroEsup];

Creiamo un secondo diagramma a barre, leggermente sfalsato rispetto al precedente:

diagBarreVerdi[lista_List, n_:  1] := 
      Module[{nm1 = n - 1}, 
        Show[Table[
            Graphics[{Thickness[0.009], RGBColor[0, 1, 0], 
                Line[{{i  + nm1 -  .2, 0}, {i + nm1 -  .2, 
                      lista[[
                        i]]}}]}], {i, Length[lista]}], 
          PlotRange -> {{0, Length[lista] + 1}, {0, Max[lista] + 1}}, 
          Ticks -> {Automatic, Range[Ceiling[Max[lista]]]}, 
          Axes -> True, AxesOrigin -> {0, 0}, 
          ImageSize -> 500, 
          TextStyle -> {FontSize -> 24}]]

gr3  =  diagBarreVerdi[numeroEsup];

Show[gr3, gr1];

Radice n-esima di n!

Consideriamo la successione dei reciproci della radice n-sima di n!:

nfatt = N[Table[1/n!^(1/n), {n, 40}]];

diagBarre[nfatt];