Analisi Numerica (A-L) (C.d.S. Triennale in Informatica) A.A.2003/04
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: scritto (ed eventualmente orale)
Crediti: 6
Docente: Giulio Casciola
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio (facoltativa)
in cui si utilizza il sistema MATLAB.
Testi Consigliati
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisysy,
(second edition) Springer Verlag (1997)
- D.Bau, N.Trefethen, Numerical linear algebra, SIAM (1998)
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- I.D.Faux, M.J.Pratt, Computational Geometry for Design and
Manufacture, John Wiley & Sons (1979)
Altri testi in italiano
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
- I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Programma completo A.A.2003/04
I Appello d'esame
- Martedi` 13/01/04 ore 9.00, Prova Scritta.
- Mercoledi` 14/01/04 ore 9.00, Prova Orale.
II Appello d'esame
- Martedi` 10/02/04 ore 14.00, Prova Scritta.
- Giovedi` 12/02/04 ore 9.00, Prova Orale.
Argomenti trattati a Lezione
- Mer.01/10/03, ore 15.30-17.30:
introduzione e informazioni sul corso;
richiami sui numeri reali, loro rappresentazione,
notazioni, forma scientifica; numeri finiti: approssimazione della mantissa
per troncamento e arrotondamento.
- Gio.02/10/03, ore 15.30-17.30:
range degli esponenti, insieme F dei numeri finiti, memorizzazione dei numeri
finiti (segno, esponente e mantissa) con esempi, esempio/esercizio sulla
distribuzione dei numeri finiti sull'asse reale prendendo come esempio
F(2,3,-1,2), definizione di errore assoluto e relativo,
cenni su ANSI/IEEE Std 754-1985, definizione di unita' di
arrotondamento, teorema su maggiorazione dell'errore relativo, corollario
sulla rappresentazione di fl(a), caratterizzazione unita' di arrotondamento.
- Mer.08/10/03, ore 15.30-17.30:
unita' di arrotondamento in IEEE Basic-Single e Basic-Double e precisione
in termini di cifre decimali, aritmetica floating point, richiesta di
precisione per le operazioni aritmetiche fra numeri finiti dettata
dallo standard IEEE, non validita' delle
classiche proprieta', analisi degli errori in avanti, analisi
in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali,
analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica,
esempio numerico.
- Gio.09/10/03, ore 15.30-17.30:
Condizionamento di un problema e stabilita'
di un algoritmo, definizioni di Errore Inerenre, Algoritmico e Totale,
teorema che lega E_TOT, E_IN ed E_ALG, stima di E_IN nel caso di
problemi del tipo f:R^n->R ed numero di condizione per problemi del
tipo f:R^n->r^m, esempio numerico per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1);
problema esempio per la determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado;
- Mer.15/10/03, ore 15.30-17.30:
Ripresa stima E_IN nel caso f:R^n->R, esempi di moltiplicazione e
addizione/sottrazione numeri reali, esempio per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Un problema concreto: intersezione di due segmenti del piano;
varie espressioni per definire rette del piano, condizionamento del
problema dell'intersezione di due rette, condizionamento del problema
dell'intersezione di due segmenti definiti a partire dai loro estremi.
- Gio.16/10/03, ore 15.30-17.30:
Indecidibilita' dell'uguaglianza, tolleranze per misure angolari e
tolleranze per distanze, algoritmo stabile per distanza punto retta,
algoritmo stabile per l'intersezione di due segmenti, esempi applicativi
che necessitano di risolvere problemi di intersezione.
- Dispensa:
I Numeri Finiti e l'Aritmetica Floating Point.
(file .ps.gz)
(file .pdf)
- Mer.22/10/03, ore 15.30-17.30:
introduzione ai problemi di interpolazione e approssimazione di dati con
funzioni polinomiali; richiami sui polinomi, valutazione numerica di
un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini; valutazione numerica
della derivata di un polinomio; esempi numerici.
- Gio.23/10/03, ore 15.30-17.30:
E_IN nella valutazione di un polinomio: esempio
numerico per un polinomio lineare; stima di E_IN in questo caso;
componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione e componente
che non dipende dalla rappresentazione;
introduzione alla base dei polinomi di Bernstein su un intervallo;
analisi di E_IN in questo caso; esempio numerico per lo stesso polinomio
lineare, ma nella base di Bernstein; base dei polinomi di Bernstein nell'
intervallo [0,1] e loro invarianza per traslazione e scala.
- Mer.29/10/03, ore 15.30-17.30:
Ancora sull'esempio del polinomio lineare nella base di Bernstein;
proprieta' della base di Bernstein, valutazione numerica,
formula ricorrente per la loro definizione in [0,1], algoritmo di de
Casteljau; complessita' computazionale; curve di Bezier e loro uso
nei sistemi di disegno e nella generazione di fonti (LaTex, PostScript).
- Gio.30/10/03, ore 15.30-17.30:
esempio numerico di valutazione con l'algoritmo di de Casteljau,
formula ricorrente per la derivata dei polinomi base di Bernstein,
valutazione della derivata di un polinomio; primitiva di un polinomio
di Bernstein; integrale definito di un polinomio di Bernstein.
Intepolazione di dati con funzioni polinomiali;
esistenza e unicita' del polinomio interpolante
via soluzione di un sistema lineare con matrice di Vandermonde;
interpolazione polinomiale nella base di Bernstein;
- Mer.05/11/03, ore 15.30-17.30:
Interpolazione polinomiale nella base di Newton e nella base di Lagrange; errore di
interpolazione polinomiale nel caso di funzioni regolari; l'interpolante polinomiale converge
alla funzione all'aumentare dei punti?; esempio test della
funzione di Runge sulla non convergenza del polinomio interpolante
all'aumentare dei punti di interpolazione;
risultato sulla convergenza nell'intervallo di interpolazione del
polinomio interpolante nel caso di funzione almeno C^1 e punti scelti come zeri
dei polinomi di Chebyshev di grado n+1; funzioni di interpolazione polinomiali
a tratti e funzioni spline; interpolazione di Hermite con un polinomio cubico
nella base di Bernstein.
- Gio.06/11/03, ore 15.30-17.30:
Dimostrazione in aula dei vari metodi di interpolazione visti, mediante programmi
test in linguaggio Matlab. Implementazione dei polinomi a tratti cubici C^1
mediante polinomi di Bernstein scalati e traslati in [0,1].
Interpolazione mediante spline cubiche usando polinomi nella base di Bernstein
ed imponendo le condizioni di raccordo.
- Mer.12/11/03, ore 15.30-17.30:
Interpolazione mediante spline cubiche usando polinomi nella base di Bernstein
ed imponendo le condizioni di raccordo nel caso uniforme; convergenza di tali
interpolanti all'aumentare dei punti di interpolazione; esempi sulla funzione
test di Runge; applicazioni all'interpolazione di punti del piano con curve 2D;
applicazione per il controllo numerico di un robot.
- Gio.13/11/03, ore 15.30-17.30:
Approssimazione ai minimi quadrati; problema
di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili:
metodo delle equazioni normali; caso polinomiale nella base delle
potenze e nella base di Bernstein; retta di regressione lineare
nella base delle potenze e nella base con centro.
- Dispensa:
Interpolazione con Funzioni Polinomiali.
(file .ps.gz)
(file .pdf)
Codice Matlab:
(file .zip)
- Mer.19/11/03, ore 15.30-17.30:
Integrazione Numerica o Quadratura Numerica;
formule interpolatorie polinomiali nella forma di Lagrange su punti equidistanti
(formule di quadratura di Newton-Cotes chiuse); caso n=1 (trapezi) ed n=2 (Simpson);
esempio numerico; errore di integrazione per n dispari ed n pari;
caso errore per trapezi e Simpson; formule composte o interpolatorie
polinomiali a tratti.
- Gio.20/11/03, ore 15.30-17.30:
Formule composte dei trapezi ed errore di integrazione;
formule composte di Simpson ed errore di integrazione; esempio numerico;
cenni su estrapolazione di Richardson e formule
adattive per l'approssimazione numerica di un integrale definito ad una
tolleranza fissata; applicazioni: lunghezza di una curva piana e area
definita da una curva chiusa.
- Dispensa:
Integrazione Numerica.
(file .ps.gz)
(file .pdf)
- Mer.26/11/03, ore 15.30-17.30:
Equazioni non lineari: metodo di bisezione, ipotesi
di applicazione, iterazioni del metodo e test di arresto;
errore inerente; metodo di Newton, ipotesi di applicazione,
derivazione del metodo, iterazioni del metodo; teorema di
convergenza per metodi di iterazione funzionale.
- Gio.27/11/03, ore 15.30-17.30:
Teorema di convergenza
del metodo di Newton, propagazione degli errori, test di arresto;
problemi applicativi: radice quadrata di un numero, inverso di un numero.
Definizione di ordine di convergenza di una successione,
ordine di convergenza quadratica del metodo di Newton per
radici semplici e lineare per radici multiple, esempi numerici,
- Mer.03/12/03, ore 15.30-17.30:
Metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza;
zeri di polinomi nella base di Bernstein; metodo geometrico/numerico;
applicazioni: interrogazioni su curve; intersezione curva/curva.
- Gio.04/12/03, ore 15.30-17.30:
Lezione sospesa per un impegno del docente.
- Dispensa:
Equazioni non Lineari.
(file .ps.gz)
(file .pdf)
- Mer.10/12/03, ore 15.30-17.30:
Soluzione di un sistema lineare quadrato: motivazione di
metodi a complessita` computazionale accettabile;
fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro), metodo di eliminazione di Gauss e matrici elementari di Gauss
per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale.
esempio di fattorizzazione e soluzione di
un sistema lineare; applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice; fattorizzazione LU con scambio
delle righe.
- Gio.11/12/03, ore 15.30-17.30:
Metodo di Gauss con scambio delle righe (o pivoting parziale);
esempio; stabilita` numerica di LU; fattorizzazione LU
conscambio delle righe e perno massimo; stabilita` di LU in senso debole.
Richiami su norme vettoriali e norme matriciali; condizionamento del
problema Ax=b; numero di condizione.
- Mer.17/12/03, ore 15.30-17.30:
Soluzione di un sistema lineare mediante
fattorizzazione QR della matrice; matrici elementari di Householder; esempio;
complessita` computazionale; stabilita` della fattorizzazione
QR.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, motivazioni. Richiami
su autovalori e autovettori di una matrice: raggio spettrale, polinomio
caratteristico associato ad una matrice;
convergenza di una successione di
vettori e risultati preliminari; metodi iterativi; decomposizione della
matrice e successione di vettori; teorema di convergenza;
condizioni sufficienti per la convergenza.
- Gio.18/12/03, ore 15.30-17.30:
Test di arresto di un metodo iterativo; metodi di Jacobi e Gauss-Seidel, esempi.
Cenni sulla determinazione degli autovalori di una matrice; matrici simili
e trasformazioni per similitudine, matrice diagonalizzabile.
Applicazione del calcolo degli autovalori
per la valutazione di curve utilizzate nel grafica computazionale;
estensione dello stesso principio a superfici.
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