Scopo Dare i fondamenti del calcolo numerico.

Contenuto Numeri finiti e aritmetica floating point; funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati; integrazione numerica; equazioni non lineari; sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli autovalori e autovettori di una matrice; Il corso prevede un'attività di laboratorio (facoltativa) in cui si utilizza il sistema MATLAB.

Testi Consigliati

• J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisysy, (second edition) Springer Verlag (1997)
• D.Bau, N.Trefethen, Numerical linear algebra, SIAM (1998)
• R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici, Zanichelli (1992)
• I.D.Faux, M.J.Pratt, Computational Geometry for Design and Manufacture, John Wiley & Sons (1979)

• V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
• I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
• F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II, Pitagora Editrice Bologna (1985)

• Le lezioni inizieranno il 3 ottobre 2008 con il seguente orario:
  Lunedi' ore 10:30-13:30 aula Pincherle (Dip.Matematica)
  Venerdi' ore 10:30-12:30 aula Pincherle (Dip.Matematica)

• Ve.03/10/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Introduzione e informazioni sul corso (proiettati lucidi).
  Dispensa: I Numeri Finiti e l'Aritmetica Floating Point. (file .pdf)
  
  Numeri Finiti
  Richiami sui numeri reali, rappresentazione, forma scientifica o normalizzata. Insieme F dei numeri finiti, approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento, range degli esponenti; memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa);
  esercizio1: determinare tutti gli elementi di F(2,3,-1,2); quanti sono?
  esercizio2: trovare una formula che esprima il numero di elementi di F(beta,t,lambda,omega);
  esercizio3: come sono distribuiti sull'asse reale gli elementi di F(2,3,-1,2)?
• Lu.06/10/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Correzione esercizi assegnati; cenni su ANSI/IEEE Std 754-1985. Esercitati su conversione e rappresentazione in memoria definizione di errore assoluto e relativo, definizione di unita' di arrotondamento, teoremi su maggiorazioni dell'errore assoluto e dell'errore relativo, corollario sulla rappresentazione di fl(a), caratterizzazione unita' di arrotondamento; Caratterizzazione di u e arrotondamento ai pari in ANSI/IEEE Std 754. Unita' di arrotondamento in IEEE Basic-Single e Basic-Double e precisione in termini di cifre decimali. Aritmetica floating point: precisione di calcolo fra numeri finiti; Analisi degli errori in avanti e all'indietro.
• Ve.10/10/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali, analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica. Esempio numerico sulla cancellazione. Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo: Errore Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG, numero di condizione e stima di E_IN nel caso di problemi del tipo f:R->R, f:R^n->R (ed f:R^n->R^m). Algoritmo stabile e instabile.
• Lu.13/10/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione/sottrazione fra numeri reali; esempio per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1); problema esempio per la determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado.
  Dispensa: Interpolazione con Funzioni Polinomiali. (file .pdf)
  
  Funzioni Polinomiali e Interpolazione
  Introduzione al problema dell'interpolazione. Richiami sui polinomi, valutazione numerica di un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
• Ve.17/10/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Non c'e' stata lezione per chiusura Dipartimento causa sciopero
• Lu.20/10/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Valutazione numerica della derivata di un polinomio; esempi numerici. E_IN per la valutazione di un polinomio: esempio numerico; stima di E_IN in questo caso. componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione e componente che non dipende dalla rappresentazione. Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo; analisi di E_IN in questa base; stesso esempio numerico, ma nella base di Bernstein; base dei polinomi di Bernstein nell' intervallo [0,1] e loro invarianza per traslazione e scala; ripreso l'esempio. Proprieta' dei polinomi base di Bernstein. Definizione dei polinomi di Bernstein via formula ricorrente, valutazione numerica, algoritmo che usa formula ricorrente per funzioni base (ALG1), algoritmo di de Casteljau (ALG2); complessita' computazionale.
• Ve.24/10/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Curve di Bezier (definizione vettoriale, punti di controllo, poligonale di controllo). Valutazione di una curva con algoritmo di de Casteljau; suddivisione di una curva di Bezier; algoritmo di de Casteljau ricorsivo per cubiche; applicazioni delle curve di Bezier per fonti digitali e pacchetti software di disegno. Polinomi di Bernstein di approssimazione uniforme e interpretazione geometrica dei suoi coefficienti; formula ricorrente per la derivata dei polinomi base di Bernstein; valutazione della derivata di un polinomio di Bernstein.
• Lu.27/10/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  antiderivata e integrale di polinomi nella base di Berstein. Introduzione al problema dell'intepolazione di dati. Intepolazione con funzioni polinomiali; esistenza e unicita' del polinomio interpolante (matrice di Vandermonde); interpolazione polinomiale nella base di Bernstein e Lagrange. Errore di interpolazione polinomiale.
• Ve.31/10/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Ancora su errore di interpolazione polinomiale; convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge; zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1 e convergenza dell'interpolante. Interpolazione nella base di Newton; interpolazione iterativa per aggiunta di punti. Funzioni di interpolazione polinomiali a tratti; interpolazione di Hermite; esempio polinomio cubico nella base di Bernstein; polinomi cubici a tratti di interpolazione di Hermite di classe C^1 (interpolazione locale);
• Lu.03/11/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Polinomi cubici a tratti di interpolazione di classe C^2 (spline)(interpolazione globale). Applicazione di interpolanti regolari, tipo spline cubiche, per il controllo numerico di un robot.
  Introduzione all'ambiente Octave/Matlab e dimostrazione con programmi Matlab (matlab_an0809.tgz)
  Dimostrazione in aula dei vari metodi di interpolazione visti, mediante programmi test in linguaggio Matlab: dimostrazione sulla convergenza o meno di tali interpolanti all'aumentare dei punti di interpolazione; esempi sulla funzione test di Runge; esempi di interpolazione di punti del piano con curve polinomiali a tratti vettoriali con tensione.
• Ve.7/11/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Non c'e' stata lezione per indisponibilita' del docente
• Lu.10/11/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Approssimazione ai minimi quadrati; problema di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili: sistema della equazioni normali; caso polinomiale nella base delle potenze. Retta di regressione lineare nella base delle potenze e nella base con centro.
  Dispensa: Integrazione Numerica. (file .pdf)
  
  Integrazione Numerica
  Formule di Quadratura; formule interpolatorie polinomiali nella forma di Lagrange su punti equidistanti (formule di quadratura di Newton-Cotes); caso n=1 (trapezi); caso n=2 (Simpson); esempio numerico; errore di integrazione per trapezi e Simpson; errore di integrazione per n dispari ed n pari. Formule composte interpolatorie polinomiali a tratti; formule composte dei trapezi ed errore di integrazione;
• Ve.14/11/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Non c'e' stata lezione per chiusura Dipartimento causa sciopero
• Lu.17/11/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Formule composte di Simpson ed errore di integrazione. Esempio di determinazione del passo di integrazione per contenere l'errore in una tolleranza fissata (caso trapezi e Simpson composti). Estrapolazione di Richardson e formule adattive per l'approssimazione numerica di un integrale definito ad una tolleranza fissata: caso trapezi e Simpson. Applicazione alla lunghezza ed area di una curva piana.
  Dispensa: Equazioni non lineari (file .pdf)
  
  Equazioni non lineari
  Metodo di bisezione, ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo e test di arresto, metodo della falsa posizione.
• Ve.21/11/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Errore inerente; metodo di Newton: ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo, significato geometrico; teorema di convergenza per metodi di iterazione funzionale; teorema di convergenza del metodo di Newton; propagazione degli errori nei metodi iterativi funzionali; test di arresto.
• Lu.24/11/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Problemi applicativi: radice quadrata di un numero, inverso di un numero. Definizione di ordine di convergenza di una successione, ordine di convergenza quadratica del metodo di Newton per radici semplici e lineare per radici multiple, esempi numerici, Metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza. Esempio di applicazione della determinazione delle radici di una equazione polinomiale: l'intersecatore di POV-Ray per superfici implicite. Sequenza di Sturm per la localizzazione delle radici reali di un'equazione polinomiale.
• Ve.28/11/08, ore 10.30-12.30: Aula Pincherle
  Dispensa: Algebra Lineare Numerica. (file .pdf)
  
  Algebra Lineare Numerica
  
  Soluzione di un sistema lineare quadrato: motivazione di metodi con complessita` computazionale accettabile; fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti e all'indietro), metodo di eliminazione di Gauss e matrici elementari di Gauss per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale. Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare; applicazione della fattorizzazione per il calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice.
• Lu.01/12/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale); un esempio numerico; soluzione del sistema lineare dopo fattorizzazione con scambio delle righe. Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU con scambio delle righe e perno massimo; stabilita` numerica di LU in senso debole. Richiami su norme vettoriali e norme matriciali; condizionamento del problema Ax=b. Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR.
• Ve.05/12/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  matrici elementari di Householder. Verifica analitica e numerica (su un esempio) dell'effetto di una trasformazione di Householder; metodo di Householder per fattorizzazione QR; implementazione del metodo; complessita` computazionale; stabilita`. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, motivazioni. Richiami su: autovalori e autovettori di una matrice, raggio spettrale, polinomio caratteristico, matrice companion; convergenza di una successione di vettori e risultati preliminari. Metodi iterativi: decomposizione della matrice e successione di vettori; teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza.
• Ve.12/12/08, ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Test di arresto; complessita' computazionale. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel; esempi numerici. Proprieta' degli autovalori di una matrice; risultati su autovalori e autovettori; matrici simili e trasformazioni per similitudine, matrice diagonalizzabile; teorema di Schur.
• Lu.15/12/078 ore 10.30-13.30: Aula Pincherle
  Matrici di Hessemberg. Metodi per la determinazione degli autovalori di una matrice: fase di riduzione a matrici in forma di Hessemberg, fase di convergenza. Esempio numerico su riduzione a matrice di Hessemberg; Metodo QR per la ricerca degli autovalori. Condizionamento del problema di determinare un autovalore. Applicazione del calcolo degli autovettori per determinare il Page-Rank di Google. Applicazione del calcolo degli autovalori per la valutazione di curve e superfici utilizzate nel grafica computazionale. Dimostrazione con alcuni programmi.
• Ve.19/12/08, ore 10.30-11.30: Aula Pincherle
  Compito scritto, simulazione prova d'esame.

• babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754.htmlANSI/IEEE Std 754-1985
• www.gnu.org/software/gsl/ GSL - GNU Scientific Library
• www.mathworks.com/products/matlab/ MATLAB The Language of Technical Computing

• Vedi: modalita' d'esame