Contenuto
Richiami sui principi del calcolo in aritmetica finita;
Richiami sulla teoria dell'approssimazione polinomiale univariata e bivariata; base di Bernstein;
Spazi di funzioni spline e base B-spline; proprietà di convergenza dell'approssimazione spline;
Spazi di funzioni NURBS (Non Uniform Rational B-splines) e base RB-spline;
Knot-insertion / h-refinement, degree-elevation / p-refinement e k-refinement;
Applicazioni nei sistemi CAD (Computer-Aided Design), CAM (Computer-Aided Manufacturing), FEA (Finite Element Analysis), nel disegno vettoriale 2d, nella grafica 3d, ecc..
Esercitazioni in Laboratorio in ambiente Matlab/Octave sugli argomenti e applicazioni trattate.

Testi Consigliati

• N.J.Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, second edition, SIAM, 2002.
• M.J.D.Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press, 1981.
• C.de Boor, A practical guide to splines, Springer Verlag, 1978.
• L.Piegl, W.Tiller, The NURBS book, 2nd Edition, Springer, 1997.

• Le lezioni sono iniziate il 23 settembre 2019 con il seguente orario:
  Lunedi' ore 9:00-11:00 Aula Vitali
  Martedi' ore 9:00-11:00 Aula Vitali \ LAB Linux
  Mercoledi' ore 9:00-10:00 Aula Vitali

• Lu.23/09/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Introduzione e informazioni sul corso (Vedi slide in Documenti).
• Ma.24/09/19, ore 10:00-11:00: Aula Vitali
  Richiami su aritmetica floating point (Insieme dei numeri finiti,U unita' di arrotondamento, errore di rappresentazione, errore di calcolo, analisi in avanti e all'indietro, cancellazione numerica, errore totale, inerente e algoritmico, errore inerente nella valutazione polinomiale nella base canonica, base polinomiale di Bernstein, definizione e proprieta'.
• Me.25/09/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Errore inerente nella valutazione polinomiale nella base di Bernstein, Esempio numerico, formula ricorrente per i polinomi base di Bernstein, algoritmo1 di valutazione, algoritmo 2 di valutazione (de Casteljau).
• Lu.30/09/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Ancora su algoritmo 2 di valutazione (de Casteljau), suddivisione, formula per le derivate, algoritmi per la valutazione delle derivate, derivate di ordine superiore, integrale dei polinomi base di Bernstein, applicazioni.
  Interpolazione polinomiale di Lagrange e interpolazione di funzioni. Errore di interpolazione e risultati di convergenza.
• Ma.1/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Introduzione alla teoria dell'approssimazione nel caso multivariato con esempi nel caso bivariato; spazio polinomiale di grado totale n; interpolazione di Lagrange; spazi di Chebyshev e unisolvenza; risultati negativi sull'unisolvenza nel caso di dimensione d>1; condizioni sufficienti di unisolvenza; base di Lagrange multivariata; base di Lagrange bivariata su griglia triangolare.
• Me.2/10/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Idea di algoritmo per interpolazione bivariata polinomiale di punti su linee (vedi condizioni sufficienti). Coordinate baricentriche su triangolo; coordinate baricentriche su segmento; base di Bernstein univariata in coord. baricentriche; base di Bernstein bivariata in coord. baricentriche.
• Lu.7/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Preparazione all'esercitazione di Laboratorio. Ripercorso insieme paper "Barycentric Lagrange Interpolation" assegnato da leggere. Esaminate le function da preparare per l'esercitazione in ambiente Matlab.
• Ma.8/10/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 1; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.9/10/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Ancora su base di Bernstein in coordinate baricentriche. Spazio dei polinomi bivariati prodotto tensoriale; rappresentazione matriciale. Interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare; esistenza e unicita' dell'interpolante.
• Lu.14/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Migliore approssimazione polinomiale e teorema di Jackson; polinomi a tratti, spline a nodi semplici, spline polinomiali a nodi multipli. Base delle potenze troncate. Partizione estesa, formula ricorrente per funzioni B-spline Normalizzate, esempio.
• Ma.15/10/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 2; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.16/10/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Ancora sulla formula ricorrente: esempi per determinare l'espressione di una funzione B-spline e per determinare il valore di tutte le funzioni B-spline in un punto. Proprieta' di supporto locale e di effetto locale.
• Lu.21/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Formalizzazione delle proprieta' viste (supporto locale e non negativita'); esempio e grafici di B-spline. Identita' di Marsden e Identita' derivate; rappresentazione B-spline della base polinomiale canonica. Proprieta' di partizione dell'unita'. Lineare indipendeza della funzioni B-spline. Condizionamento della base B-spline.
• Ma.22/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Ordine di approssimazione delle funzioni spline. Esempio su VDSA (Variation Diminishing Spline Approximation). Metodi di valutazione funzioni spline: algoritmo 1 su formula ricorrente delle funzioni B-spline; analizzata implementazione algoritmo 1; algoritmo 2 su formula ricorrente sui coefficienti della rappresentazione spline e dovuta a de Boor; analizzata implementazione algoritmo 2.
• Me.23/10/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Valutazione delle derivate; formula ricorrente; implementazione.
• Lu.28/10/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Espressione della derivata destra: formula sui coefficienti; derivate di ordine superiore. Primitiva e integrazione di funzioni spline.
  Interpolazione di Lagrange ed Hermite; esempi su interpolazione con spline lineari e cubiche di Hermite. Condizioni di Schoenberg-Whitney per l'interpolazione di Lagrange e cenno a zeri isolati delle funzioni spline.
• Ma.29/10/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 3; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.30/10/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Generalizzazione delle condizioni di Shoenberg-Whitney per nodi multipli; esempi di partizioni 'not-a-knot' e di 'de Boor'; spline cubiche di interpolazione con proprieta' di minimo: condizioni di 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica'.
• Lu.4/11/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Ancora su spline cubiche di interpolazione con condizioni di 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica'. Proprieta' integrale di minimo; esistenza e unicita' degli interpolanti relativi. Convergenza e ordine di convergenza delle spline cubiche di interpolazione con 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica' di funzioni C^4 in [a,b].
  Cenno al metodo PIA di interpolazione spline.
• Ma.5/11/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 4; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.6/11/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Ripreso metodo PIA per l'interpolazione spline. Proprieta' PIA, matrice di collocazione Totalmente Positiva (TP), Sistema di funzioni TP, le B-spline sono un sistema TP, le spline hanno la proprieta' PIA.
  Introduzione al tool Knot-Instertion (KI).
• Lu.11/11/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Knot-Insertion (KI), applicazione del KI per valutazione spline, suddivisione e raffinamento (h-refinement); Knot-Removal (KR); Degree-Elevation (DE); DE per polinomi nella base di Bersntein; algoritmo di DE a tre passi; applicazione per p-refinement; k-refinement.
• Ma.12/11/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 5; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.13/11/1i9, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Esempio su Knot-Removal come procedura inversa del Knot-insertion. Variazione di segno in senso forte di un vettore di coefficienti e di una funzione; risultato su variazione di segno in senso forte di una funzione spline.
• Lu.18/11/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Funzioni spline bivariate (prodotto tensoriale); spazio spline prodotto tensoriale e base B-spline bivariata; proprieta'. Valutazione in un punto e in una griglia di punti. Interpolazione prodotto tensoriale su griglia di punti: teorema di esistenza e unicita'; soluzione mediante interpolazioni univariete. Interpolazione spline su griglia di punti; interpolazione spline cubica con derivate agli estremi. Ordine di approssimazione per spline prodotto tensoriale.
• Ma.19/11/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 6; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.20/11/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Seminario Azienda EGsolutions s.r.l.
  https://www.egsolutions.com/it/
  Dr.ssa Stefania Dal Santo, Dr. Ivan Tomba e Dr.ssa Alessia Magnani.
• Lu.25/11/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Funzioni NURBS univariate; spazio, RB-spline e proprieta'; derivazione, knot-insertion e degree-elevation. Funzioni NURBS bivariate; spazio ed RB-spline.
  Funzioni vettoriali spline/NURBS univariate; approssimazione di forma e proprieta'. Funzioni vettoriali chiuse e periodiche. Cenno a continuita' parametrica e geometrica.
• Ma.26/11/19, ore 11:00-13:00: Aula Vitali
  Seminario Open Mind s.r.l.
  Ing. Roberto Ciarloni.
  https://www.openmind-tech.com/it.html
• Me.27/11/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  NURBS e rappresentazione di coniche (arco di cerchio e intero cerchio a 9 punti). Funzioni vettoriali spline/NURBS bivariate; isocurve, approssimazione di forma, curve di bordo.
• Lu.2/12/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Progettazione di superfici da curve: cilindriche, rigate e di rivoluzione. Esempi di progettazione di forme piane: quarto di corona circolare, disco. Trasformazione isoparametrica e mapping 1-1.
• Ma.3/12/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 7; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.4/12/19, ore 9:00-10:00: Aula Vitali
  Ripresi gli esercizi C.1 e C.4 dell'Esercitazione 4; definita forma piana disco. Spline scalari su domini curvi; Interpolazione spline di funzioni f(x,y) def. su domini curvi.
• Lu.9/12/19, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
  Migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati; esistenza e unicita', algoritmo. Casi prodotto scalare discreto e continuo (R^n, C_[a,b], ibrido). Introduzione al metodo di Ritz-Galerkin (metodo agli elementi finiti) per approssimare la soluzione di un problema differenziale nel senso dei minimi quadrati (prodotto scalare dell'energia).
  Esercitazione 8; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Ma.10/12/19, ore 9:00-11:00: Laboratorio Linux
  Esercitazione 9; vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'.
• Me.11/12/19, ore 9:00-10:00: Laboratorio Linux
  Ancora su Esercitazione 9. Fine delle Lezioni

• Dispensa: Richiami di Calcolo Numerico (file .pdf)
• Slide: Introduzione al corso (file .pdf)
• Paper: ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (file .pdf)
• Paper: ''Rational Barycentric Interpolation'' (file .pdf)
• Slide: Curve di Bezier (file .pdf)
• Esercitazione 1: LAB1_pol_interp.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 1: LAB1_info.pdf (ulteriori info; file .pdf)
• Esercitazione 2: LAB2_pol_interp_biv.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 2: LAB2_info.pdf (ulteriori info; file .pdf)
• Dispensa: Funzioni spline e NURBS (file .pdf)
• Slide: Grafici in Matlab (file .pdf)
• Paper: ''The Numerical Evaluation of B-Splines'' (file .pdf)
• Paper: ''On Calculating with B-Splines'' (file .pdf)
• Esercitazione 3: LAB3_spline.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 4: LAB4_spline_interp.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 4: LAB4_info.pdf (ulteriori info; file .pdf)
• Esercitazione 5: LAB5_spline_ki.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 6: LAB6_spline_interp_biv.pdf (file .pdf)
• Dispensa: Curve e Superfici Spline/NURBS (file .pdf)
• Esercitazione 7: LAB7_toolbox_nurbs.pdf (file .pdf)
• Blog: ''Just how did NURBS come to be'' by Ken Vesprille? (file .pdf)
• Slide: LAB7_nurbs.pdf (file .pdf)
• Paper: ''Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement'' (file .pdf)
• Esercitazione 8: LAB8_galerkin.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 8: LAB8_galerkin_info.pdf (file .pdf)
• Esercitazione 9: LAB9_GeoPDEs.pdf (file .pdf)

• anmat_LAB1.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 1)
  
• anmat_LAB1_sol.zip (soluzioni Esercitazione 1)
  
• anmat_LAB2.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 2)
  
• anmat_LAB2_sol.zip (soluzioni Esercitazione 2)
  
• gc_spline_lib.zip (libreria di funzioni Matlab per spline)
  
• anmat_LAB3.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 3)
  
• anmat_LAB4.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 4)
  
• anmat_LAB4_sol.zip (soluzioni Esercitazione 4)
  
• anmat_LAB5.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 5)
  
• anmat_LAB5_sol.zip (soluzioni Esercitazione 5)
  
• anmat_LAB6.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 6)
  
• anmat_LAB6_sol.zip (soluzioni Esercitazione 6)
  
• anmat_LAB7.zip (semplici funzioni e script Matlab per Esercitazione 7)
  
• anmat_LAB7_sol.zip (soluzioni Esercitazione 7)
  
• anmat_LAB8_galerkin.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 8)
  
• anmat_LAB9_geoPDEs.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 9)
  

• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_design CAD - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_manufacturing CAM - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_engineering CAE - Wikipedia

• Vedi: modalita' d'esame