Contenuto
Richiami sui principi del calcolo in aritmetica finita;
Richiami sulla teoria dell'approssimazione polinomiale univariata e bivariata;
Spazi di funzioni spline e base B-spline; proprietà di convergenza dell'approssimazione spline;
Knot-insertion/h-refinement, degree-elevation/p-refinement e k-refinement;
Metodi di interpolazione e approssimazione ai minimi quadrati con funzioni spline (caso univariato e bivariato, scalare e vettoriale);
Spazi di funzioni NURBS (Non Uniform Rational B-splines) e base RB-spline;
Applicazioni nei sistemi CAD (Computer-Aided Design), CAM (Computer-Aided Manufacturing), FEA (Finite Element Analysis), SCIVIS (Scientific Visualization), CG3D (Computer Graphics 3D), SVG (Scalable Vector Graphics), ecc..
Esercitazioni in Laboratorio in ambiente Matlab/Octave sugli argomenti e applicazioni trattate.

Testi Consigliati

• N.J.Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, second edition, SIAM, 2002.
• M.J.D.Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press, 1981.
• C.de Boor, A practical guide to splines, Springer Verlag, 1978.
• L.Piegl, W.Tiller, The NURBS book, 2nd Edition, Springer, 1997.

• Le lezioni sono iniziate il 23 settembre 2020 con il seguente orario:
  
  mercoledì ore 9:00-12:00 Aula Levi (LAB Linux) e on-line (Aula Virtuale)
  giovedì ore 9:00-11:00 Aula G2 (Dip. Geologia) e on-line (Aula Virtuale)

• Me.23/09/20, ore 9:00-12:00: Aula Virtuale (solo on-line)
  Introduzione e informazioni sul corso (Vedi slide in Documenti).
• Gi.24/09/20, ore 9:00-11:00: Aula Virtuale (solo on-line)
  Richiami su aritmetica floating point. Insieme dei numeri finiti, unita' di arrotondamento (U), errore di rappresentazione, errore di calcolo, analisi in avanti e all'indietro, cancellazione numerica, errore totale, inerente e algoritmico, errore inerente nella valutazione di un polinomio nella base canonica e in una generica base.
• Me.30/09/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 0: vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'. Ambiente e programmazione Matlab con piccoli script e function.
• Gi.1/10/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Ancora su argomenti di CN; basi di rappresentazione polinomiali; cenno alla base di Bernstein e sue applicazioni. Interpolazione polinomiale di Lagrange e interpolazione di funzioni. Errore di interpolazione e risultati di convergenza per opportune ditribuzioni di punti. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale. Polinomi di Lagrange di interpolazione, valutazione mediante I e II forma baricentrica, valutazione delle derivate. Assegnato da leggere il paper ''Barycentric Lagrange Interpolation''.
• Me.7/10/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 1: vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'. Ancora su Matlab dopo la lettura del paper ''Barycentric Lagrange Interpolation''.
• Gi.8/10/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Introduzione alla teoria dell'approssimazione nel caso multivariato ed in particolare nel caso bivariato; spazio polinomiale di grado totale n; interpolazione di Lagrange; spazi di Haar e unisolvenza; risultati negativi sull'unisolvenza; base di Lagrange bivariata su una distribuzione di punti ''unisolventi''; punti ottimali, quasi ottimali e risultati di convergenza. Spazio dei polinomi bivariati prodotto tensoriale; valutazione mediante rappresentazione matriciale. Interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare; esistenza e unicita' dell'interpolante;
• Me.14/10/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Metodo costruttivo per l'interpolazione bivariata prodotto tensoriale su griglia di punti; approccio matriciale; distribuzioni ottimali di punti e convergenza.
  Ripresa e completata Esercitazione 1.
  Esercitazione 2: vedi testo e materiale in 'Download Documenti' e 'Download Materiale LAB'. Interpolazione polinomiale bivariata.
  Presentate slide "Introduzione alla rappresentazione grafica in Matlab" vedi 'Download Documenti'.
• Gi.15/10/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Migliore approssimazione polinomiale e teorema di Jackson; polinomi a tratti, spline a nodi semplici, spline a nodi multipli. Base delle potenze troncate. Partizione estesa, formula ricorrente per funzioni B-spline Normalizzate, esempio.
• Me.21/10/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Ripresa l'Esercitazione 2 e completata insieme. Lasciato come compito di modificare l'ultimo script per risolvere l'eq. differenziale alle derivate parziali di Helmholtz.
  Ripresa formula ricorrente per funzioni B-spline Normalizzate e dedotte alcune semplici proprietà.
• Gi.22/10/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Ancora sulla formula ricorrente: esempio di spazio spline a nodi multipli e rappresentazione grafica delle funzioni B-spline; lasciato come esercizio un altro spazio spline. Identita' di Marsden e Identita' derivate; rappresentazione B-spline della base polinomiale canonica. Proprieta' di partizione dell'unita'. Lineare indipendeza della funzioni B-spline. Lasciato me esercizio ricavare l'espressione delle B-spline di ordine m=3 in [0,1] con partizione nodale vuota. Proprietà di convessità globale e locale. Condizionamento della base delle funzioni B-spline. Metodi di valutazione funzioni spline: algoritmo 1 su formula ricorrente delle funzioni B-spline; analizzata implementazione algoritmo 1.
• Me.28/10/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 3: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Funzioni B-spline.
• Gi.29/10/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Algoritmo 2 su formula ricorrente sui coefficienti della rappresentazione spline. Valutazione delle derivate; derivata destra e formula ricorrente. Espressione della derivata destra: formula sui coefficienti; derivate di ordine superiore. Cenno a primitiva e integrazione di funzioni spline.
  Funzioni spline bivariate (prodotto tensoriale); spazio spline prodotto tensoriale e base B-spline bivariata; proprieta'.
  Funzioni NURBS univariate; spazio, RB-spline e proprieta'. Funzioni NURBS bivariate; spazio ed RB-spline bivariate non prodotto tensoriale.
  Funzioni vettoriali spline/NURBS univariate e bivariate; approssimazione di forma e proprieta'.
• Me.4/11/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 4: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Funzioni spline/nurbs vettoriali, univariate e bivariate.
• Gi.5/11/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Curve e Superfici NURBS come proiezione di Curve e Superfici spline in coordinate omogenee. Curve NURBS e rappresentazione di coniche (arco di cerchio e intero cerchio a 9 punti). Funzioni vettoriali spline/NURBS bivariate; isocurve, approssimazione di forma, curve di bordo. Progettazione di superfici da curve: extruded, ruled, revolved e Coons patch.
  Introduzione ai tool Knot-Instertion (KI) e Degree-Elevation (DE).
• Me.11/11/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 5: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Ancora su spline/nurbs vettoriali, progettazione forme piane.
• Gi.12/11/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Knot-Insertion (KI), applicazione del KI per valutazione spline, suddivisione e raffinamento (h-refinement); Knot-Removal (KR); Degree-Elevation (DE); DE per polinomi nella base di Bersntein; algoritmo di DE a tre passi; applicazione per p-refinement; k-refinement.
• Me.18/11/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 6: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Knot-Insertion, Degree-Elevation e Approssimazione spline bivariata VD. Progettazione di forme piane: quarto di corona circolare, disco e discoide. Trasformazione isoparametrica e mapping 1-1. Spline scalari su domini curvi; Approssimazione spline VD di funzioni f(x,y) def. su domini curvi.
• Gi.19/11/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Ordine di approssimazione delle funzioni spline. Esempio su VDSA (Variation Diminishing Spline Approximation).
  Interpolazione di Lagrange ed Hermite; esempi di interpolazione con spline lineari e cubiche di Hermite e bound di approssimazione. Condizioni di Schoenberg-Whitney per l'interpolazione di Lagrange e cenno a zeri isolati delle funzioni spline.
• Me.25/11/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 7: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Funzioni spline univariate di interpolazione e metodo di collocazione.
• Gi.26/11/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Spline cubiche di interpolazione 'not-a-knot', generalizzazione di 'de Boor' per spline di grado generico; spline cubiche di interpolazione con condizioni di 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica'. Proprieta' integrale di minimo; esistenza e unicita' degli interpolanti relativi. Convergenza e ordine di convergenza delle spline cubiche di interpolazione con 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica' di funzioni C^4 in [a,b]. Generalizzazione delle spline cubiche con 'derivate agli estremi' al caso bivariato prodotto tensoriale; convergenza e bound. Ordine di approssimazione per spline prodotto tensoriale. Applicazione dell'interpolazione spline per funzioni vettoriali (curve 2D, 3D, parametrizzazione della corda e centripeta). Approssimazione di funzioni in norma 2 indotta da un prodotto interno; miglior approssimazione in norma, esistenza, unicità, algoritmo di calcolo via soluzione sistema lineare. Caso continuo e caso discreto. Applicazione al caso spline.
• Me.2/12/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 8: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Funzioni spline univariate e bivariate di interpolazione, approssimazione spline ai minimi quadrati continui e discreti, metodo di collocazione per equazioni differenziali alle derivate parziali.
• Gi.3/12/20, ore 9:00-11:00: Aula G2 e on-line
  Soluzione di equazioni differenziali con minimi quadrati continui e discreti e collocazione. Introduzione al metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin (metodo agli elementi finiti) per approssimare la soluzione di un problema differenziale nel senso dei minimi quadrati (prodotto interno e norma dell'energia). Esempio su semplice problema differenziale. Concetto isoparametric e IGA (IsoGeometric Analysis).
• Me.9/12/20, ore 9:00-12:00: Aula LAB-Linux e on-line
  Esercitazione 9: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Least Square Collocation, Elementi Finiti e package GeoPDEs per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
  
  Fine delle Lezioni

• Slide: Introduzione al corso (file .pdf)
• Dispensa: Richiami di Calcolo Numerico (file .pdf)
• Dispensa: Approssimazione Polinomiale (file .pdf)
• Paper: ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (file .pdf)
• Slide: Introduzione alla rappresentazione grafica in Matlab (file .pdf)
• Dispensa: Funzioni Spline e NURBS (file .pdf)
• Paper: ''The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective'' (file .pdf)
• Paper: ''Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement'' (file .pdf)
• Slide: Curve e Superfici NURBS: toolbox-nurbs (file .pdf)
• Dispensa: Curve e Superfici Spline/NURBS (file .pdf)
• Book: L.P. and W.T. book (file .pdf)
• Paper: ''Isogeometric Least-Squares Collocation Method with Consistency and Convergence Analysis'' (file .pdf)

• Esercitazione 0: LAB0_num_finiti.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB0.tgz (semplici script e function Matlab per Esercitazione 0)
  
• Esercitazione 1: LAB1_pol_interp.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB1.tgz (funzioni e script Matlab per Esercitazione 1)
  
• Esercitazione 2: LAB2_pol_interp_biv.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB2.tgz (funzioni e script Matlab per Esercitazione 2)
  
• powers.m (function per Esercitazione 2)
  
• Esercitazione 3: LAB3_toolbox.pdf (file .pdf)
• an_spline_lib.tgz (libreria di funzioni Matlab per spline)
  
• anmat_LAB3.tgz (funzioni e script Matlab per Esercitazione 3)
  
• Esercitazione 4: LAB4_nurbs.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB4.tgz (funzioni e script Matlab)
  
• Esercitazione 5: LAB5_spline_ki.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB5.tgz (funzioni e script Matlab)
  
• Esercitazione 6: vedi testo e materiale dell'Esercitazione 5.
• Esercitazione 7: LAB6_spline_interp.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB6.tgz (funzioni e script Matlab)
  
• Esercitazione 8: LAB7_spline_interp_approx_biv.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB7.tgz (funzioni e script Matlab)
  
• Esercitazione 9: LAB8_LSC_GeoPDEs.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB8.tgz (funzioni e script Matlab)
  

• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_design CAD - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_manufacturing CAM - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_engineering CAE - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer_graphics CG - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Scientific_visualization SCIVIS - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Scalable_Vector_Graphics SVG - Wikipedia
• www.it.rhino3d.com/ Rhinoceros
• www.think3.eu/ Think3

• Vedi: modalita' d'esame