Contenuto
Richiami sul calcolo in aritmetica finita, su teoria dell'approssimazione di funzioni, su basi di rappresentazione polinomiale, su soluzione di sistemi lineari;
applicazione di questi concetti alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie: metodi alle differenze finite e di collocazione spettrale.
Approssimazione bivariata di funzioni e soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali: metodi alle differenze finite e di collocazione spettrale.
Spazi di funzioni spline e spline razionali (caso univariato e bivariato), basi locali di rappresentazione (B-spline), valutazione, derivazione, integrazione, strumenti di raffinamento ed elevamento di grado, proprietà di convergenza dell'approssimazione spline.
Interpolazione e approssimazione ai minimi quadrati (discreti e continui) con funzioni spline.
Metodi di collocazione spline e agli elementi finiti per equazioni differenziali ordinarie con condizioni ai bordi;
Approssimazione di forma spline e spline razionale e progettazione di domini curvi.
Metodi di collocazione, agli elementi finiti e IsoGeometric Analysis (IGA) per equazioni differenziali alle derivate parziali con condizioni ai bordi di un dominio curvo.
Cenno alla generalizzazione di spazi polinomiali e spline a Chebyshevian space.
Il corso prevede una attività di Laboratorio in cui lo studente potrà mettere in pratica e sperimentare i metodi di calcolo proposti.

Testi Consigliati

• N.J.Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, second edition, SIAM, 2002.
• M.J.D.Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press, 1981.
• C.de Boor, A practical guide to splines, Springer Verlag, 1978.
• L.Piegl, W.Tiller, The NURBS book, 2nd Edition, Springer, 1997.
• J.A.Cottrel, T.J.R.Hughes, Y.Bazilevs, Isogeometric Analysis, John Wiley & Sons, Ltd, 2009.

• Le lezioni inizieranno il 21 settembre 2021 con il seguente orario:
  
  martedì ore 11:00-13:00 Aula Levi (LAB Linux) e on-line (Aula Virtuale)
  giovedì ore 14:00-17:00 Aula Seminario VIII Piano e on-line (Aula Virtuale)

• Ma.21/09/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Introduzione e informazioni sul corso (Vedi slide in Documenti).
• Gi.23/09/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Richiami su aritmetica floating point. Insieme dei numeri finiti, unita' di arrotondamento (U), errore di rappresentazione, errore di calcolo, analisi in avanti e all'indietro, cancellazione numerica, errore totale, analitico, inerente e algoritmico, errore inerente nella valutazione di un polinomio nella base canonica e in una generica base. Calcolo approssimato delle derivate di una funzione (differenze centrate).
• Ma.28/09/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 0: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
  Ambiente e programmazione Matlab con piccoli script e function.
  Sono stati svolti insieme i primi 3 esercizi e parzialmente il 4^; si completi il 4^ e si svolgano i primi due punti del 5^.
• Gi.30/09/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Metodo alle Differenze Finite per equazioni differenziali ordinare del secondo ordine con condizioni al bordo. Analisi di convergenza: consistenza, stabilita' e convergenza. Esempi. Condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann e Robin.
• Ma.5/10/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 1: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Metodo alle Differenze Finite per problemi differenziali.
  Sono stati svolti gli esercizi A., il primo punto di C. e D.; l'esercizio B. ed il secondo punto di C. sono da svolgere autonomamente, cosi' come l'esercizio E.
• Gi.7/10/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Ancora su argomenti di CN: interpolazione polinomiale di dati e interpolazione di funzioni. Errore di interpolazione e risultati di convergenza per opportune ditribuzioni di punti. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale. Polinomi di Lagrange di interpolazione, valutazione mediante I e II forma baricentrica, valutazione delle derivate. Metodo di Collocazione Spettrale per l'approssimazione di equazioni differenziali con condizioni ai bordi; convergenza; imposizione delle condizioni al bordo. Dato da leggere il paper ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (vedi Download Documenti).
• Ma.12/10/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 2: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Interpolazione polinomiale e metodo di Collocazione per problemi differenziali.
  Sono stati svolti gli esercizi A., B. e D.; sono da svolgere autonomamente gli esercizi C., E. ed F.
• Gi.14/10/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Introduzione alla teoria dell'approssimazione nel caso multivariato ed in particolare nel caso bivariato; spazio polinomiale di grado totale n; interpolazione di Lagrange; spazi di Haar e unisolvenza; risultato negativo sull'unisolvenza; base di Lagrange bivariata su una distribuzione di punti ''unisolventi''; punti ottimali, quasi ottimali e risultati di convergenza. Spazio dei polinomi bivariati prodotto tensoriale; valutazione mediante rappresentazione matriciale. Interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare; esistenza e unicita' dell'interpolante; Interpolazione bivariata in una generica base prodotto tensoriale su griglia di punti; approccio matriciale; distribuzioni ottimali di punti e convergenza. Metodo di Collocazione e metodo alle Differenze Finite per PDEs del secondo ordine lineari.
• Ma.19/10/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 3: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Interpolazione polinomiale bivariata, metodo di Collocazione e alle Differenze Finite per PDEs.
  Presentate slide Grafici 3D in Matlab vedi 'Download Documenti'. Svolti insieme gli esercizi A e parzialmente B. Si proseguirà l'esercitazione martedì prossimo.
• Gi.21/10/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Migliore approssimazione polinomiale e teorema di Jackson; polinomi a tratti, spline, spline a nodi multipli. Base delle potenze troncate. Partizione estesa, formula ricorrente per funzioni B-spline Normalizzate, esempi, semplici proprietà, esempio di spazio spline a nodi multipli e rappresentazione grafica delle funzioni B-spline; lasciato come esercizio di verificare la continuità nei nodi.
• Ma.26/10/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 3: Ancora su Interpolazione polinomiale bivariata, metodo di Collocazione e alle Differenze Finite per PDEs.
  Svolti insieme gli esercizi C e D.
  Esempi sull'utilizzo della formula ricorrente per B-spline, proprietà.
• Gi.28/10/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Identita' di Marsden e Identita' derivate; rappresentazione B-spline della base polinomiale canonica. Lineare indipendeza della funzioni B-spline. Condizionamento della base delle funzioni B-spline. Metodi di valutazione funzioni spline: algoritmo 1 su formula ricorrente delle funzioni B-spline. Algoritmo 2 su formula ricorrente sui coefficienti della rappresentazione spline. Valutazione delle derivate; derivata destra e formula ricorrente. Espressione della derivata destra: formula sui coefficienti; derivate di ordine superiore.
  Ordine di approssimazione delle funzioni spline. Esempio su VDSA (Variation Diminishing Spline Approximation).
  Funzioni spline bivariate (prodotto tensoriale); spazio spline prodotto tensoriale e base B-spline bivariata; proprieta'; valutazione e valutazione delle derivate.
• Ma.2/11/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 4: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Spline, B-spline e approssimazione VD, caso univariato e bivariato.
  Installate le librerie an_spline_lib e GeoPDEs. Svolti insieme gli esercizi A, B e C; accennato lo svolgimento degli esercizi D ed E.
• Gi.4/11/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Ripreso il concetto di ordine di approssimazione per spline e sue derivate per caso univariato e bivariato prodotto tensoriale.
  Interpolazione di Lagrange ed Hermite; esempi di interpolazione con spline lineari e cubiche di Hermite e bound di approssimazione. Risultati su zeri isolati di funzioni spline e condizioni di Schoenberg-Whitney per l'esistenza e l'unicità dell'interpolazione spline Scelta dei nodi secondo 'de Boor' per spline di grado generico (not-a-knot nel caso cubico); scelta dei punti di interpolazionen secondo Greville. Spline cubiche di interpolazione con condizioni di 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica'. Proprieta' integrale di minimo; esistenza e unicita' degli interpolanti relativi. Ordine di convergenza delle spline cubiche di interpolazione con 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica' di funzioni C^4 in [a,b].
• Ma.9/11/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 5: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Interpolazione spline e Collocation. Svolti insieme gli esercizi A e B; messo a disposizione script main_collocation_spline_err.m (vedi Download Materiale LAB).
• Gi.11/11/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Richiami su norme e prodotti interni (vedi dispensa Approssimazione Polinomiale). Migliore approssimazione, esistenza e unicità in norma 2 indotta. Sistema delle equazioni normali. Approssimazione spline minimi quadrati continui e discreti. Metodo Least Square Collocation per problemi differenziali lineari (caso continuo e discreto). Operatore differenziale simmetrico e definito positivo. Prodotto interno e norma dell'energia. Metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin (metodo agli elementi finiti) per approssimare la soluzione di un problema differenziale nel senso dei minimi quadrati nella norma dell'energia.
• Ma.16/11/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 6: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Approssimazione spline, Least Square Collocation e Ritz-Galerkin. Svolti insieme gli esercizi A (tutti) e B solo Ritz-Galerkin.
• Gi.18/11/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Esempio di operatore differenziale lineare simmetrico e definito positivo e soluzione di un problema differenziale associato con spazio spline; analisi dell'errore.
  Funzioni NURBS univariate; spazio NURBS, RB-spline e proprieta'. Funzioni NURBS bivariate; spazio ed RB-spline bivariate non prodotto tensoriale.
  Funzioni vettoriali spline/NURBS univariate; approssimazione di forma; proprieta'. Applicazione dell'interpolazione spline per funzioni vettoriali (curve 2D, 3D, parametrizzazione della corda). Curve NURBS e rappresentazione di coniche (arco di circonferenza e circonferenza a 9 punti).
• Ma.23/11/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 7: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Curve e superfici spline/NURBS e progettazione/ricostruzione di forme 2D. Svolti insieme gli esercizi A, B, C1.1, C1.2, C1.3, C2.1, C2.2, C2.4, lasciati da fare gli altri, ed in particolare gli esercizi D1 ed E e per approfondire il D2 e l'F.
• Gi.25/11/21, ore 14:00-17:00: Aula VIII piano e Aula Virtuale (on-line)
  Funzioni vettoriali spline/NURBS bivariate; isocurve e curve di bordo. Progettazione di superfici da curve: ruled, revolved e Coons patch. Esempi di superfici piane 2D (domini curvi). Definizione di funzioni scalari su domini curvi. Funzioni spline scalari su domini curvi, geometry map 1-1. Interpolazione spline di funzioni scalari bivariate su domini curvi. Interpolazione spline bivariata (prodotto tensoriale) su griglia di punti mendiante interpolazioni univariate in x ed y.
  Introduzione ai tool h-, p- e k-refinement; Knot-Instertion (KI): relazione fra basi B-spline degli spazi spline prima e dopo knot-insertion.
• Ma.30/11/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 8: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Interpolazione spline bivariata su domini curvi e metodi di raffinamento. Svolti insieme gli esercizi A, C, D ed E; da riprendere l'esercizio B su h-, p-, k-refinement.
• Gi.2/12/21, ore 14:00-17:00: Aula Enriques e Aula Virtuale (on-line)
  Knot-Insertion (KI) , applicazione del KI per valutazione spline, suddivisione e localizzazione; Knot-Removal (KR); Degree-Elevation (DE); DE per polinomi nella base di Bersntein; algoritmo di DE a tre passi; h-refinement, p-refinement; k-refinement. Ancora su Geometry Mapp (geometria del dominio curvo) definito da spline bivariata 2D, funzioni spline definite su domini curvi spline (concetto isoparametrico e IGA (IsoGeometric Analysis)). Applicazione alla soluzione di PDEs su domini curvi; metodo IGA-Collocation e IGA-Elementi Finiti.
• Ma.7/12/21, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux) e Aula Virtuale (on-line)
  Esercitazione 9: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'. Metodi per la soluzione di PDEs su domini curvi utilizzando il concetto di IGA (IsoGeometric Analysis). Svolto insieme l'esercizio B su h-, p-, k-refinement dell'esercitazione scorsa e gli esercizi A; letti e commentati i restanti esercizi e lasciati da provare in autonomia.
  
  Fine delle Lezioni

• Slide: Introduzione al corso (file .pdf)
• Dispensa: Richiami di Calcolo Numerico (file .pdf)
• Paper: ''The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective'' (file .pdf)
• Slide: gc_matlab_Iparte.pdf su 'MATLAB/Octave I parte' (file pdf)
  
• Slide: gc_matlab_IIparte.pdf su 'MATLAB/Octave II parte' (file pdf)
  
• Slide: gc_matlab_IIIparte.pdf su 'Octave/MATLAB III parte' (file pdf)
  
• Slide: Matlab_built_in.pdf su funzioni utili in Matlab (file pdf)
  
• Slide: Matlab_Grafici2D.pdf su funzioni grafiche in Matlab (file pdf)
  
• Dispensa: Approssimazione Polinomiale (file .pdf)
• Paper: ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (file .pdf)
• Slide: Matlab_Grafici3D.pdf su funzioni grafiche 3D in Matlab (file pdf)
  
• Dispensa: Funzioni Spline e NURBS (file .pdf)
• Book: L.P. and W.T. book (file .pdf)
• Slide: Curve e Superfici spline/NURBS: toolbox-nurbs (file .pdf)
• Paper: ''Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement'' (file .pdf)

• Esercitazione 0: LAB0_num_finiti.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB0.zip (semplici script e function Matlab per Esercitazione 0)
  
• Esercitazione 1: LAB1_finite_diff.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB1.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 1)
  
• Esercitazione 2: LAB2_pol_interp.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB2.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 2)
  
• Esercitazione 3: LAB3_pol_interp_biv.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB3.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 3)
  
• Esercitazione 4: LAB4_toolbox.pdf (file .pdf)
• an_spline_lib.zip (libreria di funzioni Matlab per spline)
  
• anmat_LAB4.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 4)
  
• Esercitazione 5: LAB5_spline_interp_colloc.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB5.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 5)
  
• main_collocation_spline_err.m (script soluzione esercizio B di LAB5)
  
• Esercitazione 6: LAB6_spline_ls_colloc_galerkin.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB6.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 6)
  
• Esercitazione 7: LAB7_spline_nurbs.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB7.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 7)
  
• Esercitazione 8: LAB8_curvdom_interpbiv_hkpref.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB8.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 8)
  
• Esercitazione 9: LAB9_IGA_collocation_GeoPDEs.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB9.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 9)
  

• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_design CAD - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_manufacturing CAM - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_engineering CAE - Wikipedia
• en.wikipedia.org/wiki/Scientific_visualization SCIVIS - Wikipedia
• www.it.rhino3d.com/ Rhinoceros
• www.think3.eu/ Think3
• rafavzqz.github.io/geopdes/ GeoPDEs homepage
• https://www.ansys.com/it-it ANSYS
• https://it.mathworks.com/?s_tid=gn_logo MatWorks
• MATLAB - Licenza Campus

• Vedi: modalità d'esame